Ответ:Чтобы найти первообразную функции f(x) = 2/x^8 - 4x, следует использовать метод интегрирования по частям.

Обозначим f(x) = 2/x^8 - 4x как f(x) = f1(x) + f2(x), где f1(x) = 2/x^8 и f2(x) = -4x.

Найдем первообразную функции f1(x):

∫2/x^8 dx = ∫2x^(-8) dx = -x^(-7) + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Найдем первообразную функции f2(x):

∫-4x dx = -4 * ∫x dx = -4 * (x^2/2) + C2 = -2x^2 + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

Тогда первообразная функции f(x) будет равна сумме первообразных функций f1(x) и f2(x):

F(x) = -x^(-7) - 2x^2 + C,

где C = C1 + C2 - произвольная постоянная.

Теперь произведем нахождение конкретного значения по условию прохождения через точку A(1;6).

Подставим x = 1 в уравнение F(x):

F(1) = -1^(-7) - 2(1)^2 + C = -1 - 2 + C = -3 + C.

Известно, что F(1) = 6, поэтому:

-3 + C = 6,

C = 9.

Объяснение:Для решения данного интеграла, нужно использовать табличку интегралов или знание общих формул. Интеграл от функции cos(x) равен sin(x) + C, где C - произвольная постоянная. Таким образом, интеграл от cos(x) равен sin(x) + C.Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y₁ = x² и y₂ = -2x, нужно вычислить интеграл от верхней функции минус интеграл от нижней функции на соответствующем интервале. В данном случае, нужно найти интеграл от x² минус (-2x) на интервале x, где x изменяется от точки пересечения двух функций до конечной точки фигуры.

Первым делом найдем точку пересечения этих двух функций:

x² = -2x

x² + 2x = 0

x(x + 2) = 0

Из этого получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -2.

Таким образом, интервал интегрирования будет от x = -2 до x = 0.

Теперь вычислим интеграл от x² минус (-2x):

∫(x² + 2x) dx = (1/3)x³ + (x²) от -2 до 0

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

[(1/3)(0)³ + (0²)] - [(1/3)(-2)³ + (-2²)]

= [(1/3)(0) + 0] - [(1/3)(-8) + 4]

= 0 - [(-8/3) + 4]

= 0 - [(-8 + 12)/3]

= 0 - (4/3)

= -4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y₁ = x² и y₂ = -2x, равна -4/3. Отрицательный результат говорит о том, что фигура находится ниже оси x и площадь считается со знаком минус.