Производная произведения и частного:

[tex](uv)'=u'v+uv'[/tex]

[tex]\left(\dfrac{u}{v} \right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

Рассмотрим функцию:

[tex]f(x)=\dfrac{(x-9)(x+5)}{x}[/tex]

а) Находим производную функции:

[tex]f'(x)=\dfrac{\left((x-9)(x+5)\right)'\cdot x-(x-9)(x+5)\cdot x'}{x^2} =[/tex]

[tex]=\dfrac{\left((x-9)'(x+5)+(x-9)(x+5)'\right)\cdot x-(x-9)(x+5)\cdot 1}{x^2} =[/tex]

[tex]=\dfrac{\left(1\cdot(x+5)+(x-9)\cdot1\right)\cdot x-(x-9)(x+5)}{x^2} =[/tex]

[tex]=\dfrac{\left(x+5+x-9\right)\cdot x-(x^2-9x+5x-45)}{x^2} =[/tex]

[tex]=\dfrac{\left(2x-4\right)\cdot x-(x^2-4x-45)}{x^2} =\dfrac{2x^2-4x-x^2+4x+45}{x^2} =\boxed{\dfrac{x^2+45}{x^2}}[/tex]

б) Уравнение касательной к графику функции [tex]y=f(x)[/tex] в точке [tex]x_0[/tex]:

[tex]y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/tex]

Находим значение функции в точке касания:

[tex]f(x_0)=f(2)=\dfrac{(2-9)\cdot(2+5)}{2} =\dfrac{(-7)\cdot7}{2} =-\dfrac{49}{2}[/tex]

Находим значение производной в точке касания:

[tex]f'(x_0)=f'(2)=\dfrac{2^2+45}{2^2} =\dfrac{4+45}{4} =\dfrac{49}{4}[/tex]

Составляем уравнение касательной:

[tex]y_k=-\dfrac{49}{2} +\dfrac{49}{4} (x-2)[/tex]

[tex]y_k=-\dfrac{49}{2} +\dfrac{49}{4} x-\dfrac{49}{2}[/tex]

[tex]\boxed{y_k=\dfrac{49}{4} x-49}[/tex]