Ответ:

Задача полягає в обчисленні маси пластинки, яка обмежена заданими лініями та має задану густину.

Спочатку ми повинні знайти область, обмежену заданими лініями. За умовою обмеженими лініями є:

1. x² + y² = 1

2. x² + y² = 16

3. x = 0

4. y = 0 (y ≥ 0, x > 0)

Ці лінії задають кільцеву область між колами з радіусами 1 та 4. Щоб обчислити масу пластинки, необхідно знайти площу цієї області.

Ми можемо використати поларні координати для зручності обчислення площі. У поларних координатах рівняння кола можна записати як r² = const. Тоді наші лінії в поларних координатах виглядатимуть так:

1. r = 1

2. r = 4

3. θ = π/2

4. θ = 0 (π/2 ≤ θ ≤ π/2)

Ми знайдемо площу кільця, віднімаючи площу внутрішнього кола з радіусом 1 від площі зовнішнього кола з радіусом 4.

Площа круга S = πr², тому площа кільця буде:

S = π * (4² - 1²) = 15π

Далі, ми застосуємо формулу для обчислення маси пластинки:

Маса (m) = густина (μ) * об'єм (V)

Оскільки густина μ задана як (x + 3y) / (x² + y²), нам потрібно обчислити середні значення x та y на площі кільця.

За властивостями симетрії, середнє значення x на площі кільця буде 0 (x змінюється від -r до r, але відносносно центра круга x буде від'ємним та додатним в однаковій мірі).

Тому ми обчислимо середнє значення y:

y‌ = 1/π * (∫[0, 2π] ∫[1, 4] y * r dr dθ) / 15π

За умовою, y ≥ 0, отже інтегрування від 1 до 4 включає всю площу кільця. Також, оскільки y змінюється від 0 до √(r² - x²), ми виразимо його через поларні координати:

y = r * sin(θ)

Тому виконуємо розрахунки:

y‌ = 1/π * (∫[0, 2π] ∫[1, 4] r * sin(θ) * r dr dθ) / 15π

= 1/π * (∫[0, 2π] sin(θ) dθ) / 15

Оскільки ∫ sin(θ) dθ = -cos(θ), виконуємо остаточний розрахунок:

y‌ = 1/π * [ -cos(2π) + cos(0) ] / 15

= 1/π * [ -1 - 1 ] / 15

= -2/π * 1/15

= -2/15π

Отже, середнє значення y на площі кільця дорівнює -2/15π.

Знаючи середнє значення x і y, ми можемо обчислити об'єм V пластинки:

V = S * x‌ * y‌ = 15π * 0 * (-2/15π) = 0

Таким чином, об'єм пластинки V дорівнює нулю. Оскільки об'єм пластинки дорівнює нулю, маса пластинки також буде рівна нулю.

Отже, маса пластинки, обмеженої заданими лініями, при заданій густині μ=(x+3y)/(x²+y²) дорівнює нулю.