Verified answer

Ответ:

(7; 6), (7; -6), (-7; -6), (-7; 6)

Объяснение:

Задание: Решить Диофантово уравнение x²-y²=13, то есть решить в целых числах.

Решение. Число 13 простое число и поэтому можно разложить на следующие целые множители:

13 = 1·13 = (-1)·(-13).

Разложим левую часть уравнения:

x²-y²=(x-y)·(x+y).

Тогда

(x-y)·(x+y) = 1·13 или (x-y)·(x+y) = (-1)·(-13).

Отсюда получаем варианты:

[tex]\displaystyle \tt 1) \; \left \{ {{x-y=1} \atop {x+y=13}} \right. ;\; 2) \; \left \{ {{x-y=13} \atop {x+y=1}} \right. ; \;3) \; \left \{ {{x-y=-1} \atop {x+y=-13}} \right. ;\;4) \; \left \{ {{x-y=-13} \atop {x+y=-1}} \right. .[/tex]

Решаем системы:

[tex]\displaystyle \tt 1) \; \left \{ {{x-y=1} \atop {x+y=13}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=x-1} \atop {2 \cdot x=14}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=7-1=6} \atop {x=7}} \right. \Leftrightarrow (x; y)=(7;6).[/tex]

[tex]\displaystyle \tt 2) \; \left \{ {{x-y=13} \atop {x+y=1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=x-13} \atop {2 \cdot x=14}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=7-13=-6} \atop {x=7}} \right. \Leftrightarrow (x; y)=(7;-6).[/tex]

[tex]\displaystyle \tt 3) \; \left \{ {{x-y=-1} \atop {x+y=-13}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=x+1} \atop {2 \cdot x=-14}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-7+1=-6} \atop {x=-7}} \right. \Leftrightarrow (x; y)=(-7;-6).[/tex]

[tex]\displaystyle \tt 4) \; \left \{ {{x-y=-13} \atop {x+y=-1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=x+13} \atop {2 \cdot x=-14}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-7+13=6} \atop {x=-7}} \right. \Leftrightarrow (x; y)=(-7;6).[/tex]

#SPJ1