Определить радиус окружности, определённой уравнением x^2+y^2-4x-6y-3=0.

Ответ:

Радиус окружности равен 4 условных единицы.

Объяснение:

Для начала вспомним общий вид уравнения окружности:

[tex]\Large \boldsymbol {} \text{ $ \boldsymbol{\sf \star \ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2}$ \boldsymbol}[/tex]

где (x₀;y₀) - координаты центра окружности, r - её радиус.

Мы имеем уравнение окружности. Чтобы найти радиус, нам нужно сделать два полных квадрата в этом уравнении по формулам квадратов разности либо суммы:

[tex]\Large \boldsymbol {} \text{ $ \boldsymbol{\sf \star \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ \boldsymbol} \\\\ \text{ $ \boldsymbol{\sf \star \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ \boldsymbo}[/tex]

Распишем уравнение окружности по этим формулам:

[tex]\Large \boldsymbol {} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\\\\x^2-2xx_0+(x_0)^2+y^2-2yy_0+(y_0)^2=r^2[/tex]

В нашей формуле окружности мы имеем x^2 и y^2, а так же 4x и (-6у). Не сложно догадаться, что (-4х) это и есть то самое (-2хх₀), а (-6у) это (-2уу₀). Отсюда находим координаты середины окружности:

[tex]\Large \boldsymbol {} -2yy_0=-6y \Longrightarrow y_0=3\\\\-2xx_0=4x \Longrightarrow x_0=(-2)[/tex]

Мы нашли координаты центра нашей окружности - (-2;3).

Теперь нам нужно сделать так, чтобы в нашем уравнении окружности было всё, чтобы сделать там полные квадраты - (х+2)^2 и (y-3)^2.

[tex]\Large \boldsymbol {} x^2+y^2+4x-6y-3=0 \\\\x^2+y^2+4x-6y+4-4+9-9=3\\\\(\underset{a^2}{\underbrace{x^2}}-\underset{2ab}{\underbrace{2*(-2)*x}}+\underset{b^2}{\underbrace{(-2)^2}})+(\underset{a^2}{\underbrace{y^2}}-\underset{2ab}{\underbrace{2*3*y}}+\underset{b^2}{\underbrace{3^2}})-\\\\-4-9-3=0\\\\(x-(-2))^2+(y-3)^2=16\\\\(x+2)^2+(y-3)^2=4^2[/tex]

Мы преобразовали наше уравнение окружности. Его центр, как мы уже определили - (-2;3), а радиус - 4.