Ставлю 50 баллов
y = (x^2) / ((x^2)-1)
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции с объяснением.
y = (x^2) / ((x^2)-1)
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции с объяснением.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
y = (x^2) / ((x^2) -1)Найти точки экстремума и интервалы монотонности
-------------------
f(x) = x²/(x² -1) так удобно ;
ОДЗ : x² -1≠0 ⇔x ≠±1 , т.е. x∈ ( -∞ ; -1) ∪ (-1; 1) ∪(1 ;∞) .
Четная функция : f(-x) = (-x)² / ( (-x)² -1 ) = x²/(x² -1) = f(-x)
f ' (x) =( x²/(x² -1) ' =( (x²)' *(x² -1) - x²*(x² -1)' ) / (x² -1)² =
=(2x(x² -1) - x²*2x ) /(x² -1)² = (2x³ -2x - 2x³) / (x² -1)² = -x / (x² -1)² .
Критическая точка функции это точка ,где производная равно нулю или не существует .
f ' (x) =0 ⇔ -x / (x² -1)² = 0 ⇒ x =0.( единственная точка) ,т.к. в ОДЗ производная функции существует .
Критическая точка x =0 является точкой экстремума (меняется знак производной) , а именно точкой максимума , действительно :
f ' (x) < 0 ⇔ -x / (x² -1)² < 0 ⇒ x > 0 (интервалы убывания)
f ' (x) > 0 ⇒ x < 0 ( интервалы возрастания)
В точке x = 0 производная меняет знак с плюса на минус ( " + " → " - " )
ответ : x =0 является точкой максимума , x ∈ ( -∞ ; -1) ∪ (-1; 0) функция возрастает (y ↑) , а x ∈ ( 0 ; 1) ∪ (1; ∞) _функция убывает (y ↓).