Ответ:

Промежутки монотонности :

Возрастает   когда   [tex]x\in[ -1 ~ ; ~ 0~ ) \cup [~1~ ; ~ \infty ~)[/tex]

Убывает когда  [tex]x\in(~- \infty ~ ;~ -1 ~] \cup ( ~0 ~; ~1 ~][/tex]

Экстремумы :

[tex]x = 1 ~ ; ~ y = 2\\\\ x = -1 ~ ; ~ y = 2[/tex]

Выпуклость :

В  промежутке  [tex]( - \infty ~ ; ~ 0~ )[/tex]  функция выпукла

В промежутке  [tex](~ 0 ~;~ \infty ~)[/tex]   функция вогнута

Объяснение:

Находим  промежутки монотонности

[tex]\displaystyle F'(x) =\bigg( \frac{x^4+1}{x^2} \bigg)'= \frac{(x^4+1)'x^2- (x^4+1)(x^2)'}{x^4} = \\\\\\ =\frac{4x^5 - 2x^5 -2x}{x^4} = \frac{2x^5 -2x}{x^4} = \frac{2x(x^ 4 -1)}{x^4} = \frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}[/tex]

[tex]\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}=0[/tex]

[tex]\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.85,-0.3) { -1} \put(1 ,0.1){ \Large \text{~~~~ +} } \put(.3 ,0.1){ \LARGE \text{--- } } \put(2.25 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(3.1 ,0.1){ \Large \text{ ~~+} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 0}\put(2.05,0){\circle{0.05}} \put(2.98,-0.3) {\sf 1 }\put(3,0){\circle*{0.05}} \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}[/tex]

[tex]\LARGE \boldsymbol{ \Uparrow }[/tex]  Возрастает   когда   [tex]x\in[ -1 ~ ; ~ 0~ ) \cup [~1~ ; ~ \infty ~)[/tex]

[tex]\LARGE \boldsymbol{ \Downarrow }[/tex]  Убывает когда  [tex]x\in(~- \infty ~ ;~ -1 ~] \cup ( ~0 ~; ~1 ~][/tex]

Экстремумы

[tex]x = 1 ~ ; ~ y = 2\\\\ x = -1 ~ ; ~ y = 2[/tex]

Находим выпуклость

Вогнута когда :

[tex]F''(x) > 0[/tex]

Выпукла когда :

[tex]F''(x) < 0[/tex]

[tex]\displaystyle F''(x) =\bigg( \frac{x^4+1}{x^2} \bigg)''= \bigg ( \frac{2(x^4-1)}{x^3} \bigg )' = \frac{2(x^4-1)'x^3 - 2(x^4-1)(x^3)'}{x^6} = \\\\\\ =\frac{2\cdot 4x^3\cdot x^3 - 2(x^4-1)\cdot 3x^2 }{x^6 } = \frac{8x^6 -6x^6 +6x^2}{x^6} = \frac{2x^4 +6}{x^4}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2x^4 +6}{x^4}=0[/tex]

точек перегиба нет , т.к  

[tex]2x^4 + 6 =0 \\\\ 2x^4 = -6 ~ ~ \varnothing[/tex]

[tex]\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(1.45,-0.3) {\sf 0} \put(.4 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(2 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1.5,0){\circle{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}[/tex]

В  промежутке  [tex]( - \infty ~ ; ~ 0~ )[/tex]  функция выпукла

В промежутке  [tex](~ 0 ~;~ \infty ~)[/tex]   функция вогнута