Ответ:
Пошаговое объяснение:
1) I=∫dx/(√5-x²+4x)= - ∫dx/(x²-4x-√5)=
D=b²-4ac=16+4√5 = 4(4+√5) = (2√(4+√5) )² ⇒
x₁= 2+√(4+√5)
x₂= 2 -√(4+√5)
Тогда x²-4x-√5 =(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) ⇒
I = - ∫dx/(x²-4x-√5)= -∫dx/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) )
используя метод неопределённых коэффициентов, разложим нашу дробь 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) на простейшие:
1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = А/(x-2 -√(4+√5) ) - В/(x - 2 +√(4+√5))
=Ax-2A+A√(4+√5)-BX+2B+B√(4+√5) /(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) ⇒ (A-B)x+(2B-2A +A√(4+√5)+B√(4+√5) =1
A-B=0 ⇒A=B , тогда 2A√(4+√5)=1 ⇒ А=В=1 /2√(4+√5)
Значит 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = 1 /2√(4+√5)(x-2 -√(4+√5) ) - 1 /2√(4+√5)(x - 2 +√(4+√5))
I= -1 /2√(4+√5)· [ ∫dx/(x-2 -√(4+√5) ) -∫dx/(x - 2 +√(4+√5) ) ] =
=-1 /2√(4+√5)· [I₁ -I₂]
I₁= ∫dx/(x-2 -√(4+√5) ) = ln|x-2 -√(4+√5)|
I₂ =∫dx/(x-2 +√(4+√5) ) = ln|x-2 + √(4+√5)|
I= -1 /2√(4+√5)· [ ln|x-2 -√(4+√5)| - ln|x-2 + √(4+√5)| ] +C
= 1 /2√(4+√5)· ln |(x-2 + √(4+√5) / |x-2 - √(4+√5)| +C
2) ∫(x-2)dx/(x²-7x+12)
I = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = 0,5·∫(2x-4)dx/(x²-7x+12) = = 0,5·∫(2x-7+3)dx/(x²-7x+12) =
= 0,5·[ ∫(2x-7)dx/(x²-7x+12) + 3∫dx/(x²-7x+12) ]=0,5· [I₁+3I₂]
Вычислим:
I₁ =∫(2x-7)dx/(x²-7x+12) = |x²-7x+12=t ⇒(2x-7)dx=dt|=
∫dt/t=lnt = ln(x²-7x+12)
I₂ = ∫dx/(x²-7x+12) =
x²-7x+12=(x-3)(x-4), так как D=49-48=1 ⇒ х₁=(7+1)/2=4, х₂=(7-1)/2=3 ⇒
I₂ = ∫dx/(x-3)(x-4) = [ ∫dx/(x-4) - ∫dx/(x-3) ] =ln(x-4) - ln(x-3) ⇒
I=0,5· [I₁+3I₂] =0,5·[ ln(x²-7x+12) +3ln(x-4) - 3ln(x-3) ] +C
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1) I=∫dx/(√5-x²+4x)= - ∫dx/(x²-4x-√5)=
D=b²-4ac=16+4√5 = 4(4+√5) = (2√(4+√5) )² ⇒
x₁= 2+√(4+√5)
x₂= 2 -√(4+√5)
Тогда x²-4x-√5 =(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) ⇒
I = - ∫dx/(x²-4x-√5)= -∫dx/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) )
используя метод неопределённых коэффициентов, разложим нашу дробь 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) на простейшие:
1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = А/(x-2 -√(4+√5) ) - В/(x - 2 +√(4+√5))
=Ax-2A+A√(4+√5)-BX+2B+B√(4+√5) /(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) ⇒ (A-B)x+(2B-2A +A√(4+√5)+B√(4+√5) =1
A-B=0 ⇒A=B , тогда 2A√(4+√5)=1 ⇒ А=В=1 /2√(4+√5)
Значит 1/(x-2 -√(4+√5) )·(x - 2 +√(4+√5) ) = 1 /2√(4+√5)(x-2 -√(4+√5) ) - 1 /2√(4+√5)(x - 2 +√(4+√5))
I= -1 /2√(4+√5)· [ ∫dx/(x-2 -√(4+√5) ) -∫dx/(x - 2 +√(4+√5) ) ] =
=-1 /2√(4+√5)· [I₁ -I₂]
I₁= ∫dx/(x-2 -√(4+√5) ) = ln|x-2 -√(4+√5)|
I₂ =∫dx/(x-2 +√(4+√5) ) = ln|x-2 + √(4+√5)|
I= -1 /2√(4+√5)· [ ln|x-2 -√(4+√5)| - ln|x-2 + √(4+√5)| ] +C
= 1 /2√(4+√5)· ln |(x-2 + √(4+√5) / |x-2 - √(4+√5)| +C
2) ∫(x-2)dx/(x²-7x+12)
I = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = ∫(x-2)dx/(x²-7x+12) = 0,5·∫(2x-4)dx/(x²-7x+12) = = 0,5·∫(2x-7+3)dx/(x²-7x+12) =
= 0,5·[ ∫(2x-7)dx/(x²-7x+12) + 3∫dx/(x²-7x+12) ]=0,5· [I₁+3I₂]
Вычислим:
I₁ =∫(2x-7)dx/(x²-7x+12) = |x²-7x+12=t ⇒(2x-7)dx=dt|=
∫dt/t=lnt = ln(x²-7x+12)
I₂ = ∫dx/(x²-7x+12) =
x²-7x+12=(x-3)(x-4), так как D=49-48=1 ⇒ х₁=(7+1)/2=4, х₂=(7-1)/2=3 ⇒
I₂ = ∫dx/(x-3)(x-4) = [ ∫dx/(x-4) - ∫dx/(x-3) ] =ln(x-4) - ln(x-3) ⇒
I=0,5· [I₁+3I₂] =0,5·[ ln(x²-7x+12) +3ln(x-4) - 3ln(x-3) ] +C