Ответ:

Дослідження функції y=x+2/x^2-9:

1. Область визначення: x^2-9 ≠ 0, тобто x ≠ ±3.

2. Область значень: y може приймати будь-які дійсні значення, окрім y=0 (адже знаменник не може дорівнювати нулю).

3. Непарність функції: y(-x) = -x + 2/(-x^2-9) = -(x+2/x^2-9) = -y(x), тобто функція є непарною.

4. Парність функції: y(x) = x + 2/x^2-9 = y(-x), тобто функція є парною.

5. Асимптоти:

a) Горизонтальна асимптота: при x→±∞, y→0 (бо степінь чисельника менша за степінь знаменника).

b) Вертикальні асимптоти: x=±3 (бо знаменник дорівнює нулю).

6. Точки перетину з осями координат:

a) При x=0, y=2/-9.

b) При y=0, x=±√2.

7. Знак функції:

a) y>0 при x∈(-∞,-√3)∪(-√2,3)∪(3,+∞).

b) y<0 при x∈(-√3,-√2)∪(3,+∞).

c) y=0 при x=±√2.

Побудова графіку функції:

1. Знайдемо точки перетину з осями координат: (0,2/-9), (√2,0), (-√2,0).

2. Знайдемо асимптоти: горизонтальна - y=0, вертикальні - x=±3.

3. Знайдемо точки перегину: y'' = 2(9x^2-18)/(x^2-9)^3 = 0 при x=±√2.

4. Побудуємо таблицю знаків функції:

x | -∞ | -√3 | -√2 | 0 | √2 | √3 | 3 | +∞

y' | - | - | + | - | + | + | + | +

y'' | + | + | - | неі | - | + | + | +

y | ↓ | ↓ | ↑ | ↓ | ↑ | ↑ | ↑ | ↓

5. Побудуємо графік функції:

|

1.5| /

| /

| /

| /

| /

| /

|/

0.5|-----------------

| \

| \

| \

|

-3 -2 -1 0 1 2 3