Перепишем уравнение в виде y'-y/x+2/x²=0. Это - ЛДУ 1-го порядка, полагаем y=u*v. Тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид: u'*v+u*v'-u*v/x+2/x²=v*(u'-u/x)+u*v'+2/x²=0. Так как одну из функций - u или v - мы можем выбрать произвольно, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'-u/x=0. Решая это уравнение, находим u=x. Подставляя это выражение в уравнение u*v'+2/x²=0, получаем уравнение v'=-2/x³. Решая его, находим v=1/x²+C, где С - произвольная постоянная. Тогда y=u*v=1/x+C*x. Используя условие y(1)=1, приходим к уравнению 1=1+C, откуда C=0. Поэтому искомое решение таково: y=1/x.
Answers & Comments
Ответ: y=1/x.
Пошаговое объяснение:
Перепишем уравнение в виде y'-y/x+2/x²=0. Это - ЛДУ 1-го порядка, полагаем y=u*v. Тогда y'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид: u'*v+u*v'-u*v/x+2/x²=v*(u'-u/x)+u*v'+2/x²=0. Так как одну из функций - u или v - мы можем выбрать произвольно, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'-u/x=0. Решая это уравнение, находим u=x. Подставляя это выражение в уравнение u*v'+2/x²=0, получаем уравнение v'=-2/x³. Решая его, находим v=1/x²+C, где С - произвольная постоянная. Тогда y=u*v=1/x+C*x. Используя условие y(1)=1, приходим к уравнению 1=1+C, откуда C=0. Поэтому искомое решение таково: y=1/x.