mathgenius
Перепишем уравнение в виде : G: (x^2+3x-2)²+3*(x^2+3x-2)-2=x видна симметрия Пусть f(x)=x^2+3x-2 то уравнение можно переписать в виде: f(f(x))=x. Рассмотрим вспомогательное уравнение вида: f(x)=x положим что x0 корень данного уравнения. Откуда выходит что: f(x0)=x0 То выходит что: f(f(x0))=f(x0)=x0 :) Таким образом все корни уравнения f(x)=x есть и являются корнями исходного уравнения. f(f(x))=x Гениально! Итак решим уравнение: x^2+3x-2=x x^2+2x-2=0 D=4+8=12 x=(-2+-√12)/2 x1=-1+√3 x2=-1-√3 то эти 2 корня уже будут корнями и нашего уравнения G Далее приводим в нашем уравнении G подобные слагаемые,раскрываем скобки. Получим уравнение многочлен 4 степени .А именно :x^4+6x^3+8x^2-4x-4=0Можно разделить многочлен в столбик на x^2+2x-2,но тк тут писать неудобно,то воспользуемся обобщенной теоремой Виета. Сумма корней уравнения равна -6 . Значит сумма корней трехчлена при делении будет равна -6-(-2)=-4, произведение корней равно -4,а у двучлена -2,значит у результирующеготрехчлена произведение корней равно: -4/-2=2То есть это трезчлен: x^2+4x+2=0(x+2)^2=2x3,4=-2+-sqrt(2)Ответ: x1,2=-1+-sqrt(3);x3,4=-2+-sqrt(2)
Answers & Comments
G: (x^2+3x-2)²+3*(x^2+3x-2)-2=x видна симметрия
Пусть f(x)=x^2+3x-2
то уравнение можно переписать в виде:
f(f(x))=x.
Рассмотрим вспомогательное уравнение вида:
f(x)=x
положим что x0 корень данного уравнения.
Откуда выходит что:
f(x0)=x0
То выходит что:
f(f(x0))=f(x0)=x0 :)
Таким образом все корни уравнения f(x)=x есть и являются корнями исходного уравнения. f(f(x))=x Гениально!
Итак решим уравнение:
x^2+3x-2=x
x^2+2x-2=0
D=4+8=12
x=(-2+-√12)/2
x1=-1+√3
x2=-1-√3
то эти 2 корня уже будут корнями и нашего уравнения G
Далее приводим в нашем уравнении G подобные слагаемые,раскрываем скобки. Получим уравнение многочлен 4 степени .А именно :x^4+6x^3+8x^2-4x-4=0Можно разделить многочлен в столбик на x^2+2x-2,но тк тут писать неудобно,то воспользуемся обобщенной теоремой Виета. Сумма корней уравнения равна -6 . Значит сумма корней трехчлена при делении будет равна -6-(-2)=-4, произведение корней равно -4,а у двучлена -2,значит у результирующеготрехчлена произведение корней равно: -4/-2=2То есть это трезчлен: x^2+4x+2=0(x+2)^2=2x3,4=-2+-sqrt(2)Ответ: x1,2=-1+-sqrt(3);x3,4=-2+-sqrt(2)