Знаю, что уравнения явно с ошибкой, но ничего. Воспользуемся методом Феррари и будем пытаться выделить полный квадрат и свести к кубическому уравнению, а там и Кардано поможет

[tex]x^{4}+8\,x-4\,\sqrt{2}-2=0\Leftrightarrow x^{4}+2\,t\,x^{2}+t^{2}+\left(0-2\,t\right)\,x^{2}+8\,x-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0[/tex][tex]\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,x^{2}+8\,x-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0\\\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}+2\cdot \dfrac{8\,x}{-4\,t}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0[/tex][tex]\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}-\dfrac{4\,x}{t}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}\\\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}-\dfrac{4\,x}{t}+\dfrac{4}{t^{2}}-\dfrac{4}{t^{2}}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}=0[/tex][tex]\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x^{2}+2\,\left(-\dfrac{2\,x}{t}\right)+\dfrac{4}{t^{2}}\right)-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}+\dfrac{8}{t}=0\\\left(x^{2}+t\right)^{2}-2\,t\,\left(x-\dfrac{2\,x}{t}\right)^{2}-4\,\sqrt{2}-2-t^{2}+\dfrac{8}{t}=0[/tex][tex]-t^{2}+\dfrac{8}{t}-4\,\sqrt{2}-2=0\Leftrightarrow 2\,t^{3}-2\,\left(\left(-4\,\sqrt{2}-2\right)\,t\right)-16=0\\\\ t^{3}-\left(-4\,\sqrt{2}-2\right)\,t-8=0[/tex]

Так как [tex]\mathrm{Q}=\left(\dfrac{\mathrm{p}}{3}\right)^3+\left(\dfrac{\mathrm{q}}{2}\right)^2=\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27} > 0[/tex], где [tex]p=4\sqrt{2}[/tex], а [tex]q=-8[/tex], то уравнение имеет один вещественный корень. Воспользуемся формулой Кардано

[tex]\begin{cases}\alpha=\sqrt[3]{-\dfrac{\mathrm{q}}{2}+\sqrt{\mathrm{Q}}}\\ \beta=\sqrt[3]{-\dfrac{\mathrm{q}}{2}-\sqrt{\mathrm{Q}}}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\alpha=\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}\\ \beta=\sqrt[{3}]{4-\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}}\end{cases}\Rightarrow\\[/tex][tex]\Rightarrow t=\alpha-\beta=\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\sqrt[{3}]{4-\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}}[/tex]

Обратная замену и получаем простое квадратное уравнение

[tex]x^{2}-\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\\-\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}-4}}\,x+[/tex][tex]+\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}-4}+\\+\dfrac{2\,\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}+4}-\sqrt[{3}]{\sqrt{\dfrac{11\cdot 16\,\sqrt{2}}{27}+\dfrac{632}{27}}-4}}}=0[/tex]

Не составляет возможным решить данное уравнение ручками. Но корни этого уравнения - ответ