Задача простая идейно, но вычисления, надо сказать, не самые приятные. А чтобы их немного упростить, придется включить мозги. Итак, начинаем. Обозначим
Наличие двух положительных корней этого многочлена равносильно системе
(a+1)f(0)>0; (a+1)f'(0)<0; D>0
Первое неравенство означает, что при (a+1)>0, то есть когда ветви параболы направлены вверх, функция f(x) должна быть положительной в нуле, а при (a+1)<0 отрицательной. Нарисуйте две параболы, пересекающиеся с осью OX справа от нуля, одну ветвями вверх, другую вниз, и Вы поймете суть этого условия. Однако этого условия недостаточно, поскольку парабола, пересекающаяся с осью OX слева от нуля, также удовлетворяет этому условию. Можно сказать, что это условие говорит о том, что корни расположены по одну сторону от нуля, неважно какую.
Второе неравенство позволяет отбросить функции с отрицательными корнями. Посмотрите снова на картинку: если ветви идут наверх, то функция в нуле убывает, если вниз, возрастает. Убывание и возрастание мы проверяем с помощью производной, а умножение функции на старший коэффициент позволяет два случая объединить в один. Если Вы хмуритесь и готовы бросить задачу, могу предложить Вам упрощенный вариант рассуждения: поскольку случай, когда старший коэффициент равен нулю, нас не интересует - ведь при таком старшем коэффициенте квадратное уравнение исчезает, а получающееся линейное, как легко видеть, будет иметь только одно решение, так вот, давайте разделим уравнение на старший коэффициент, тогда у нас будет парабола ветвями вверх, два случая рассматривать не надо. Визуально отличие будет в том, что раньше множитель (a+1) был в числителе, а теперь он в знаменателе. Но это ничего не меняет по существу.
Ну и наконец третье неравенство всем должно быть очевидно - ведь корни не только должны существовать, они еще должны быть разными.
Первое неравенство (a+1)(a-5)>0 немедленно решается методом интервалов, a< - 1 или a>5.
Второе требует сноровки, если мы не хотим завязнуть в борьбе с неравенством с модулями:
(a+1)(|a-2|-|a-10|)<0. Чтобы избавиться от модулей, домножим это неравенство на очевидно положительную скобку (|a-2|+|a-10|); это равносильное преобразование. Далее заменяем произведение двух скобок на разность квадратов двух модулей, в результате чего модули чудесным образом исчезают, а разность квадратов двух выражений уже без модуля снова раскладываем в произведение:
Пересекая множества решений первого и второго неравенств, получаем a∈(5;6).
Остается посмотреть, для каких a дискриминант положителен: D= (|a-2|-|a-10|)^2-4(a+1)(a-5)>0; (a-2)^2+(a-10)^2-2|(a-2)(a-10)|-4a^2+16a+20>0; a^2-4a+4+a^2-20a+100-4a^2+16a+20>2|a^2-12a+20|; |a^2-12a+20|<-a^2-4a+62.
Здесь опять возникает тонкий момент (для тех, кто такой трюк не знает): оказывается, неравенство |p|<q равносильно системе неравенств p<q и p> - q (на самом деле все просто: если q>0, то результат следует из геометрического определения модуля, если меньше или равен - система решений иметь не будет). Получаем
Answers & Comments
Verified answer
Задача простая идейно, но вычисления, надо сказать, не самые приятные. А чтобы их немного упростить, придется включить мозги.Итак, начинаем.
Обозначим
Наличие двух положительных корней этого многочлена равносильно системе
(a+1)f(0)>0; (a+1)f'(0)<0; D>0
Первое неравенство означает, что при (a+1)>0, то есть когда ветви параболы направлены вверх, функция f(x) должна быть положительной в нуле, а при (a+1)<0 отрицательной. Нарисуйте две параболы, пересекающиеся с осью OX справа от нуля, одну ветвями вверх, другую вниз, и Вы поймете суть этого условия. Однако этого условия недостаточно, поскольку парабола, пересекающаяся с осью OX слева от нуля, также удовлетворяет этому условию. Можно сказать, что это условие говорит о том, что корни расположены по одну сторону от нуля, неважно какую.
Второе неравенство позволяет отбросить функции с отрицательными корнями. Посмотрите снова на картинку: если ветви идут наверх, то функция в нуле убывает, если вниз, возрастает. Убывание и возрастание мы проверяем с помощью производной, а умножение функции на старший коэффициент позволяет два случая объединить в один.
Если Вы хмуритесь и готовы бросить задачу, могу предложить Вам упрощенный вариант рассуждения: поскольку случай, когда старший коэффициент равен нулю, нас не интересует - ведь при таком старшем коэффициенте квадратное уравнение исчезает, а получающееся линейное, как легко видеть, будет иметь только одно решение, так вот, давайте разделим уравнение на старший коэффициент, тогда у нас будет парабола ветвями вверх, два случая рассматривать не надо. Визуально отличие будет в том, что раньше множитель (a+1) был в числителе, а теперь он в знаменателе. Но это ничего не меняет по существу.
Ну и наконец третье неравенство всем должно быть очевидно - ведь корни не только должны существовать, они еще должны быть разными.
Первое неравенство (a+1)(a-5)>0 немедленно решается методом интервалов, a< - 1 или a>5.
Второе требует сноровки, если мы не хотим завязнуть в борьбе с неравенством с модулями:
(a+1)(|a-2|-|a-10|)<0. Чтобы избавиться от модулей, домножим это неравенство на очевидно положительную скобку (|a-2|+|a-10|); это равносильное преобразование. Далее заменяем произведение двух скобок на разность квадратов двух модулей, в результате чего модули чудесным образом исчезают, а разность квадратов двух выражений уже без модуля снова раскладываем в произведение:
(a+1)((a-2-a+10)(a-2+a-10)<0;
(a+1)(a-6)<0; a∈(-1;6).
Пересекая множества решений первого и второго неравенств, получаем a∈(5;6).
Остается посмотреть, для каких a дискриминант положителен:
D= (|a-2|-|a-10|)^2-4(a+1)(a-5)>0;
(a-2)^2+(a-10)^2-2|(a-2)(a-10)|-4a^2+16a+20>0;
a^2-4a+4+a^2-20a+100-4a^2+16a+20>2|a^2-12a+20|;
|a^2-12a+20|<-a^2-4a+62.
Здесь опять возникает тонкий момент (для тех, кто такой трюк не знает):
оказывается, неравенство |p|<q равносильно системе неравенств p<q и p> - q (на самом деле все просто: если q>0, то результат следует из геометрического определения модуля, если меньше или равен - система решений иметь не будет). Получаем
a^2-12a+20<-a^2-4a+62 и a^2-12a+20>a^2+4a-62;
2a^2-8a-42<0 и 16a<82;
(a+3)(a-7)<0 (то есть a∈(-3;7)) и a<41/8;
a∈(-3;41/8).
Осталось пересечь с (5;6)
Ответ: (5;41/8)