Пошаговое объяснение:

Диференціальне рівняння, яке ви подали, є рівнянням першого порядку та може бути розв'язане методом розділення змінних.

Почнемо з переписування рівняння у вигляді, зручному для подальшого розв'язання:

xy' - y(ln(y) - ln(x)) = 0

Розіб'ємо логарифми на дві окремі функції:

xy' - yln(y) + yln(x) = 0

Тепер розділимо змінні, перемістивши члени, що містять y, на одну сторону, а члени, що містять x, - на іншу:

xy' = yln(y) - yln(x)

Далі, розділимо обидві частини на y(ln(y) - ln(x)):

x/y = ln(y)/ln(x)

Це рівняння може бути розв'язане шляхом інтегрування обох сторін. Але зауважте, що з'являється розгалуження у вигляді ln(x) у знаменнику, тому потрібно розглянути два випадки:

1. Коли ln(x) ≠ 0 (тобто x ≠ 1):

ln(x) * x/y = ln(y)

Застосуємо експонента до обох сторін:

e^(ln(x) * x/y) = e^ln(y)

x^(x/y) = y

2. Коли ln(x) = 0 (тобто x = 1):

У цьому випадку рівняння стає простішим:

x/y = 1

x = y

Отже, ми отримали два розв'язки:

1. x^(x/y) = y, коли x ≠ 1

2. x = y, коли x = 1

Будь ласка, зауважте, що диференціальні рівняння можуть мати багато різних методів розв'язання, і в окремих випадках можуть бути неявні розв'язки або потребувати використання чисельних методів. Результат, який я надав, є одним із можливих розв'язків для даного рівняння.