Ответ:

y = y_h + y_p = c1 + c2e^(-x) + c3x + (1/6)x + 1/36

где c1,c2,c3 сталые

Дано дифференциальное уравнение:

xy''' + y'' = 1

где y = y(x), y' = dy/dx, y'' = d²y/dx², y''' = d³y/dx³.

Это уравнение можно решить методом вариации произвольной постоянной.

Сначала находим общее решение однородного уравнения, получаем:

xy''' + y'' = 0

Характеристическое уравнение:

λ³x + λ² = 0

λ₁ = 0, λ₂ = ±i

Тогда общее решение однородного уравнения:

y₁ = c₁ + c₂cos(x) + c₃sin(x)

Далее находим частное решение неоднородного уравнения в виде

y₂ = (A + Bx)

Подставляем y₂ и её первую и вторую производные в уравнение и находим значения коэффициентов А и В:

y''₂ = 0, y'''₂ = 0

A = 1/6, B = -1/2

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

y₂ = (1/6 - 1/2x)

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

y = y₁ + y₂

y = c₁ + c₂cos(x) + c₃sin(x) + (1/6 - 1/2x)

где c₁, c₂, c₃ - произвольные постоянные.