Verified answer

Две параболы имеют 2 точки пересечения.

В данном примере углы между касательными в точках пересечения равны.

Знайти кут між параболами y = (x - 2)^2, y = - 4 + 6x - x^2 в точці їх перетину.

Находим координаты точек пересечения парабол.

(x - 2)^2 = - 4 + 6x - x^2,

x^2 – 4x + 4 = - 4 + 6x - x^2,

2x^2 – 10x + 8 = 0,

x^2 – 5x + 4 = 0, D = 25-4*1*4 = 9, √D = +-3.

x1 = (5 – 3)/2 = 2/2 = 1, y1 = (1 – 2)^2 = 1.

x2 = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4, y1 = (4 – 2)^2 = 4.

Запишем уравнения касательной в общем виде:

yk = y0 + y'(x0)(x - x0)

По условию задачи x0 = 4, тогда y0 = 4

Теперь найдем производную:

y' = ((x-2)2)' = 2·x-4

следовательно:

f'(4) = 2·4-4 = 4

В результате имеем:

yk = y0 + y'(x0)(x - x0)

yk=4+4·(x-4)

или

yk = 4·x-12

Написать уравнения касательной и нормали к кривой y=-4+6*x-x^2 в точке M0 с абсциссой x0 = 4.

Решение.

Запишем уравнения касательной в общем виде:

yk = y0 + y'(x0)(x - x0)

По условию задачи x0 = 4, тогда y0 = 4

Теперь найдем производную:

y' = (-4+6·x-x2)' = 6-2·x

следовательно:

f'(4) = 6-2·4 = -2

В результате имеем:

yk = y0 + y'(x0)(x - x0)

yk=4+-2·(x-4)

или

yk = 12-2·x

Находим угол между касательными, используя их угловаые коэффициенты.

tg α = (k1 – k2)/(1 + k1*k2) = (4 – (-2))/(1 + 4*(-2)) = 6/(-7) = -6/7.

Угол равен arctg(-6/7) = arctg(-0,857142857) = -0,708626272 радиан или 139,3987054 градуса.

Рисунок дан во вложении.