Інтервали монотонності функції y = x^4 - 8x^2 можна знайти, взявши похідну функції та знайшовши критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не визначена.
Похідною функції y = x^4 - 8x^2 є y' = 4x^3 - 16x.
Критичні точки виникають при x = 0, ±sqrt(2). Похідна додатна для x > sqrt(2) і x < -sqrt(2), і негативна для -sqrt(2) < x < sqrt(2).
Отже, інтервали монотонності функції дорівнюють (-∞, -sqrt(2)) і (sqrt(2), ∞), і вона спадає на (-sqrt(2), sqrt(2)).
Щоб знайти точки екстремуму, ми повинні визначити, чи є вони локальними мінімумами, локальними максимумами чи точками перегину, перевіривши другу похідну.
Другою похідною функції y = x^4 - 8x^2 є y'' = 12x^2 - 16.
Друга похідна додатна для x > 0 і від’ємна для x < 0. Це означає, що x = 0 є точкою перегину, де функція змінює свою увігнутість.
Отже, функція має точку перегину в x = 0, але вона не має локальних мінімумів або максимумів на заданому інтервалі [-2:4].
Answers & Comments
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Інтервали монотонності функції y = x^4 - 8x^2 можна знайти, взявши похідну функції та знайшовши критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не визначена.
Похідною функції y = x^4 - 8x^2 є y' = 4x^3 - 16x.
Критичні точки виникають при x = 0, ±sqrt(2). Похідна додатна для x > sqrt(2) і x < -sqrt(2), і негативна для -sqrt(2) < x < sqrt(2).
Отже, інтервали монотонності функції дорівнюють (-∞, -sqrt(2)) і (sqrt(2), ∞), і вона спадає на (-sqrt(2), sqrt(2)).
Щоб знайти точки екстремуму, ми повинні визначити, чи є вони локальними мінімумами, локальними максимумами чи точками перегину, перевіривши другу похідну.
Другою похідною функції y = x^4 - 8x^2 є y'' = 12x^2 - 16.
Друга похідна додатна для x > 0 і від’ємна для x < 0. Це означає, що x = 0 є точкою перегину, де функція змінює свою увігнутість.
Отже, функція має точку перегину в x = 0, але вона не має локальних мінімумів або максимумів на заданому інтервалі [-2:4].