Найти промежутки выпуклости и точки перегиба

функции y= x^4−8x^3+ 18x²−48x+ 31.

Сначала находим точки перегиба.

Находим первую производную.

y’ = 4x^3 − 24x² + 36x – 48

Находим вторую производную.

y’’ = 12x² - 48x + 36 = 12(x² - 4x + 3).

Приравняв её нулю, находим точки перегиба.

12(x² - 4x + 3) = 0. Приравниваем нулю множитель в скобках.

x² - 4x + 3 = 0. D = 16 – 4*1*3 = 4. √D = +-2.

x_1 = (4 – 2)/2 = 1,

x_2=(4 + 2)/2 = 3.

Найдены 2 точки перегиба: х = 1 и х = 3.

Далее приступаем к анализу выпуклости и вогнутости.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её                                                                 вторая производная неотрицательна на этом интервале.

Находим знаки второй производной на промежутках между точками перегиба.

x 0 1 2 3 4

y 36 0 -12 0 36

Отсюда определяем:

На промежутке 1 < x < 3 график функции выпуклый,

x < 1 и x > 3 график функции вогнутый.