Ответ:

Диференціальне рівняння другого порядку, яке ви записали, має вигляд:

y'' = -x / y'

Для того, щоб розв'язати це рівняння, ми можемо застосувати метод інтегрування за частинами.

Спочатку, помножимо обидві частини рівняння на y':

y'' * y' = -x

Тепер застосуємо інтегрування за частинами до лівої частини рівняння. Позначимо u = y' та v' = y'':

∫ y'' * y' dx = ∫ u dv'

integrate by parts:

u * v - ∫ v du = ∫ u dv'

y' * y - ∫ y * du = ∫ y' * v' dx

y^2 - ∫ y * du = ∫ y' * v' dx

Тепер підставимо y'' = -x / y' до виразу ∫ y' * v' dx:

y^2 + ∫ x dx / y' = C, де C - довільна стала

Тепер ми маємо знайти функцію y(x), що задовольняє останньому рівнянню. Знайдемо похідну від обох сторін виразу:

2y y' + (-1/y') ∫ x dx / y' = 0

Звідси ми можемо отримати рівняння для y':

y' = - C / (x^2 + C^2)^0.5

Знову проінтегруємо це рівняння за x, щоб знайти функцію y(x):

y(x) = C2 - ∫ C / (x^2 + C^2)^0.5 dx

де C2 - ще одна довільна стала. Це є загальним розв'язком диференціального рівняння.

Отже, ми отримали загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку, яке ви подали.