В условии опечатка, на самом деле нужно доказать, что xy/z²+ yz/x²+ zx/y²=3. Если привести это к общему знаменателю, то будет (xy)³+(yz)³+(xz)³=3x²y²z². Условие 1/x+1/y+1/z=0 равносильно yz+xz+xy=0. Поэтому, если обозначить xy=a, yz=b, xz=c, то задача сводится к тому, чтобы доказать, что из a+b+c=0 следует a³+b³+c³=3abc. Возведём обе части равенства -с=a+b в куб и раскроем куб суммы: -c³=(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)=a³+b³-3abc. Что и требовалось.
Answers & Comments
Verified answer
В условии опечатка, на самом деле нужно доказать, чтоxy/z²+ yz/x²+ zx/y²=3. Если привести это к общему знаменателю, то будет
(xy)³+(yz)³+(xz)³=3x²y²z².
Условие 1/x+1/y+1/z=0 равносильно yz+xz+xy=0.
Поэтому, если обозначить xy=a, yz=b, xz=c, то задача сводится к тому, чтобы доказать, что из a+b+c=0 следует a³+b³+c³=3abc.
Возведём обе части равенства -с=a+b в куб и раскроем куб суммы: -c³=(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)=a³+b³-3abc. Что и требовалось.
Verified answer