Дано: y(x) = 2*x⁵ + 5*x⁴ - 10*x³ + 3

Исследование.

1. Область определения: D(y)= X∈(-∞;+∞).

Гладкая, непрерывная.

2. Вертикальных асимптот - нет.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x0/x = ∞  - асимптот - нет.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

Нули функции: х1 = - 3,817, х2 = 0.

Пересечение с осью ОУ:  y(0) = 3.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-3,817].

Положительна: Y>0 - X∈[-3.817;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего фида.

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 10*x⁴+20*x³-30*x² = 10*x²*(x²+2*x+3) =10*x*(x+3)(x-1)= 0.  

x1 = -3,  x2 = 0, x3 = 1 - точки экстремумов.  

8. Локальные экстремумы/

Максимум: y(-3) = 192, минимум: y(0) = 3.  y(1) = 0.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;-3]∪[1;+∞).  Убывает: X∈[-3;0]∪[0;1].  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 40*x³+ 60*x² - 60*x = 20*x*(2*x²+3*x+3) = 0  

x1 = - 2.186, x2 = 0, x3 = 0.686

11. Вогнутая - "ложка"- X∈[-2.186;0],

выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-2.186]∪[0;0.686]    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.