Перед нами - нелинейное уравнение Бернулли вида y'+p(x)*y=q(x)*y^n, где n=2. Полагаем z=y^(1-n)=1/z⇒y=1/z⇒y'=-z'/z² и уравнение принимает вид: -z'/z²+2/z=e^x/z². Умножая обе части на z², получаем линейное уравнение относительно z: -z'+2*z=e^x, или z'-2*z+e^x=0. Полагая z=u*v, приходим к уравнению u'*v+u*v'-2*u*v+e^x=v*(u'-2*u)+u*v'+e^x=0 (*). Так как одну из функций u или v мы можем выбрать произвольно, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'-2*u=0. Решая его, находим u=e^(2*x). Подставляя это выражение в уравнение (*), получаем уравнение e^(2*x)*v'+e^x=0, или e^x*v'+1=0. Отсюда v'+e^(-x)=0, или v'=dv/dx=-e^(-x), или dv=-e^(-x)*dx=d[e^(-x)]. Интегрируя, находим v=e^(-x)+C, где C - произвольная постоянная. Тогда z=u*v=e^x+C*e^(2*x) и y=1/z=1/[e^x+C*e^(2*x)].
Answers & Comments
Ответ: y=1/[e^x+C*e^(2*x)].
Пошаговое объяснение:
Перед нами - нелинейное уравнение Бернулли вида y'+p(x)*y=q(x)*y^n, где n=2. Полагаем z=y^(1-n)=1/z⇒y=1/z⇒y'=-z'/z² и уравнение принимает вид: -z'/z²+2/z=e^x/z². Умножая обе части на z², получаем линейное уравнение относительно z: -z'+2*z=e^x, или z'-2*z+e^x=0. Полагая z=u*v, приходим к уравнению u'*v+u*v'-2*u*v+e^x=v*(u'-2*u)+u*v'+e^x=0 (*). Так как одну из функций u или v мы можем выбрать произвольно, то поступим так с u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'-2*u=0. Решая его, находим u=e^(2*x). Подставляя это выражение в уравнение (*), получаем уравнение e^(2*x)*v'+e^x=0, или e^x*v'+1=0. Отсюда v'+e^(-x)=0, или v'=dv/dx=-e^(-x), или dv=-e^(-x)*dx=d[e^(-x)]. Интегрируя, находим v=e^(-x)+C, где C - произвольная постоянная. Тогда z=u*v=e^x+C*e^(2*x) и y=1/z=1/[e^x+C*e^(2*x)].