[tex]y'\cdot\cos x+y\cdot\sin x=\cos^2x[/tex]

Разделим обе части уравнения на [tex]\cos x[/tex]:

[tex]y'+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot y =\cos x[/tex]

Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций [tex]y=uv[/tex]. Тогда:

[tex]y'=u'v+uv'[/tex]

Получим:

[tex]u'v+uv'+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot uv =\cos x[/tex]

Потребуем, чтобы сумма первого и третьего слагаемого в левой части равнялась нулю:

[tex]u'v+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot uv =0[/tex]

[tex]u'+\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot u =0[/tex]

[tex]\dfrac{du}{dx} =-\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot u[/tex]

[tex]\dfrac{du}{u} =-\dfrac{\sin x}{\cos x}dx[/tex]

Интегрируем обе части:

[tex]\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{-\sin x}{\cos x}dx[/tex]

[tex]\ln u=\int\dfrac{d(\cos x)}{\cos x}[/tex]

[tex]\ln u=\ln\cos x[/tex]

[tex]u=\cos x[/tex]

Тогда, второе слагаемое в левой части полученного после замены уравнения равно правой части:

[tex]uv'=\cos x[/tex]

[tex]\cos x\cdot v'=\cos x[/tex]

[tex]v'=1[/tex]

[tex]v=x+C[/tex]

Получаем:

[tex]y=uv=(x+C)\cos x[/tex]

Ответ: y=(x+C)cosx