Ответ:

получаем производную функции y ' = 2/arctg (2 * x) * 1/(1 + 4 * x^2).  

Пошаговое объяснение:

Для вычисления производной функции у = ln (arctg (2 * x)), нужно сначала применить формулу производной сложной функции, а затем формулу производной простой функции.  

Получаем:  

y ' = ( ln (arctg (2 * x))) ' = 1/arctg (2 * x) * (arctg (2 * x)) ' =  1/arctg (2 * x) *  1/(1 + (2 * x)^2) * (2 * x) ' =  1/arctg (2 * x) *  1/(1 + 4 * x^2) * 2 * x ' = 1/arctg (2 * x) *  1/(1 + 4 * x^2) * 2 * 1 =  2/arctg (2 * x) * 1/(1 + 4 * x^2).  

Отсюда получаем производную функции y ' = 2/arctg (2 * x) * 1/(1 + 4 * x^2).