Дотична до графіка функції y = x³ - 2x² - 1 в точці x₀ = 1 може бути знайдена, використовуючи похідну цієї функції в точці x₀.

1. Знайдемо похідну функції y = x³ - 2x² - 1:

y' = 3x² - 4x

2. Замінимо x у похідній на значення x₀ = 1:

y'(1) = 3(1)² - 4(1) = 3 - 4 = -1

Отримали значення похідної у точці x₀ = 1.

3. Дотична до графіка функції в точці x₀ = 1 має загальний вигляд:

y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀)

Підставляємо значення:

y - y₀ = -1(x - 1)

Звести до вигляду:

y - y₀ = -x + 1

Або:

y = -x + (1 + y₀)

Отримали рівняння дотичної до графіка функції y = x³ - 2x² - 1 в точці x₀ = 1:

y = -x + (1 + y₀)

Значення y₀ можна знайти, підставивши x₀ = 1 у вихідну функцію:

y₀ = x₀³ - 2x₀² - 1 = 1³ - 2(1)² - 1 = 1 - 2 - 1 = -2

Тому остаточне рівняння дотичної до графіка функції y = x³ - 2x² - 1 в точці x₀ = 1:

y = -x - 1