Verified answer

Ответ:

Площадь фигуры ограниченной линиями равна 4,5 квадратных единиц

Пошаговое объяснение:

Линии ограничивающие фигуру(площадь):

[tex]y =x^{2}[/tex]

[tex]y =-3x[/tex]

Абсциссы пересечения линий ограничивающих фигуру:

[tex]x^{2} =-3x[/tex]

[tex]x^{2} + 3x = 0[/tex]

[tex]x(x + 3) = 0[/tex]

[tex]x_{1} = 0[/tex] или [tex]x_{2} =-3[/tex]

Так как график [tex]y =-3x[/tex] находится над графиком [tex]y =x^{2}[/tex] и абсциссы пересечения данных графиков есть точки 0 и -3, то согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь фигуры ограниченной линиями есть:

[tex]\displaystyle S = \int\limits^{0}_{-3} {(-3x - x^{2} )} \, dx = -\int\limits^{0}_{-3} {(3x + x^{2} )} \, dx = -\Bigg(\int\limits^{0}_{-3} {3x} \, dx+\int\limits^{0}_{-3} { x^{2}} \, dx \Bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle= -\Bigg(3\int\limits^{0}_{-3} {x} \, dx+\int\limits^{0}_{-3} { x^{2}} \, dx \Bigg)= - \Bigg (3 \cdot \dfrac{x^{2} }{2} \bigg |_{-3}^{0} + \dfrac{x^{3}}{3} \bigg |_{-3}^{0} \Bigg )=[/tex]

[tex]\displaystyle = - \bigg (\frac{3}{2}\bigg(0^{2} - (-3)^{2}) + \frac{1}{3} \bigg(0^{3} - (-3)^{3} \bigg) \bigg) = - \bigg (\frac{3}{2}\bigg(0 - 9) + \frac{1}{3} \bigg(0 +27\bigg) \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = - \bigg (-\frac{9 \cdot 3}{2} + \frac{27}{3} \bigg) = -9 +13,5 = 4,5[/tex] квадратных единиц.