Ответ: S = 2,09

Пошаговое объяснение: x² - 0,5y² = 1 выразим через у:

[tex]x^{2} -0,5y^{2} =1[/tex]

[tex]2x^{2} -y^{2} =2[/tex]

[tex]2x^{2} -2=y^{2}[/tex]

[tex]y=\sqrt{2x^{2} -2}[/tex]

Выявим нашу фигуру на графике. Нарисуем линии данных функции. Площадь фигуры, которую надо найти, отмечена красным.

Как видим, линия функции x² - 0,5y² = 1 лежит выше чем линия функции y = (x - 1)². Поэтому от первого отнимаем вторую и подставим под интеграл:

[tex]\int\limits {(\sqrt{2x^{2} -2} -(x - 1)^{2} )} \, dx[/tex]

Теперь нам нужно узнать пределы интеграла. Их можно найти либо через систему двух заданных уравнений либо через график. Воспользуемся вторым.

Посмотрим на график. Область отмеченная красным находится между 1 и 3 на оси Ох. Поэтому определим наш неопределенный интеграл, подставив пределы, и интегрируем:

[tex]S=\int\limits^3_1 {(\sqrt{2x^{2} -2} -(x - 1)^{2} )} \, dx =\int\limits^3_1 {\sqrt{2} *\sqrt{x^{2} -1} } \, dx -\int\limits^3_1 {(x - 1)^{2} } \, dx =[/tex]

[tex]=\sqrt{2} \int\limits^3_1 {\sqrt{x^{2} -1} } \, dx -\int\limits^3_1 {(x - 1)^{2} } \, d(x-1) =(*)[/tex]

Найдем первый интеграл отдельно:

[tex]\int\limits {\sqrt{x^{2} -1} } \, dx =|\left \{ {{x=sec\theta} \atop {dx=tg\theta*sec\theta d\theta}} \right., sec^{2} \theta-1=tg^{2} \theta |=\int\limits {\sqrt{sec^{2} \theta -1} } \, tg\theta*sec\theta d\theta =[/tex]

[tex]=\int\limits {\sqrt{tg^{2} \theta } } \, tg\theta*sec\theta d\theta =\int\limits {tg^{2} \theta *sec\theta \, d\theta =\int\limits {(sec^{2} \theta -1)*sec\theta \, d\theta =[/tex]

[tex]=\int\limits {(sec^{3} \theta -sec\theta )\, d\theta =\frac{1}{2} sec\theta tg\theta +\frac{1}{2} ln|sec\theta +tg\theta |-ln|sec\theta +tg\theta |=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2} sec\theta tg\theta -\frac{1}{2} ln|sec\theta +tg\theta |=\frac{1}{2} x\sqrt{x^{2} -1} -\frac{1}{2} ln|x +\sqrt{x^{2} -1} |[/tex]

[tex](*)=\sqrt{2} (\frac{1}{2} x\sqrt{x^{2} -1} -\frac{1}{2} ln|x +\sqrt{x^{2} -1} |)|^{3}_{1} -\frac{(x-1)^{3} }{3} |^{3}_{1} =(\frac{1}{\sqrt{2} } *3\sqrt{3^{2} -1} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +[/tex]

[tex]+\sqrt{3^{2} -1} |-\frac{1}{\sqrt{2} } \sqrt{1^{2} -1} +\frac{1}{\sqrt{2} } ln|1 +\sqrt{1^{2} -1} |)-\frac{(3-1)^{3} }{3} +\frac{(1-1)^{3} }{3} =[/tex][tex]=(\frac{1}{\sqrt{2} } *3\sqrt{8} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} |-0+\frac{1}{\sqrt{2} } ln|1 +0} |)-\frac{2^{3} }{3} +\frac{0^{3} }{3} =[/tex]

[tex]=(\frac{1}{\sqrt{2} } *3*2\sqrt{2} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} |+\frac{1}{\sqrt{2} } ln1)-\frac{8}{3} +0=6-\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} |-\frac{8}{3} =[/tex]

[tex]=5\frac{3}{3} -2\frac{2}{3} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} |=3\frac{1}{3} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} |=\frac{10}{3} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} |[/tex].

Площадь фигуры равна:

[tex]S=\frac{10}{3} -\frac{1}{\sqrt{2} } ln|3 +\sqrt{8} | = 2,086882[/tex]