Ответ:

x = -0,2   —  точка перегиба

Если [tex]x \in ( - \infty ; -0,2][/tex]   — функция выпукла

Если [tex]x \in [ - 0,2 ~ ; ~ \infty~ )[/tex] —  функция вогнута

Пошаговое объяснение:

Найдем первую производную

[tex]y' = \Big ( (x +1 )\cdot e^{2x} \Big )' = (x+1)' \cdot e^{2x} + (x+1)\cdot (e^{2x})' = e^{2x}+ (x+1)\cdot 2 \cdot e^{2x} = \\\\ = e^{2x} + 2x\cdot e^{2x} + 2e^{2x}= 3e^{2x} + 2x \cdot e^{2x}[/tex]

Найдем вторую производную

[tex]y'' = (3e^{2x} + 2x \cdot e^{2x}) '= 6x\cdot e^{2x} + 2\cdot e^{2x} + 2x\cdot 2\cdot e^{2x} = 10x \cdot e^{2x} + 2e^{2x}[/tex]

Приравняв вторую производную к нулю находим интервалы выпуклости и вогнутости функции

[tex]10x \cdot e^{2x} + 2e^{2x} = 0 \\\\ 2e^{x} (5x + 1) = 0[/tex]

5x + 1 = 0

x = -0,2   —  точка перегиба

[tex]\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(1.35,-0.3) {\sf -0,2} \put(.46 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(0.5 ,-0.3){ \Huge $\frown $ } \put(2 ,0.1){ \Large \text{ +} }\put(2 ,-0.3){ \Huge $\smile$ } \put(1.5,0){\circle*{0.055}} \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}[/tex]

Если     « + »  , то  функция вогнута

Если     «—»  , то функция выпукла

Итак ,  если [tex]x \in ( - \infty ; -0,2][/tex]   — функция выпукла ,

если [tex]x \in [ - 0,2 ~ ; ~ \infty~ )[/tex] —  функция вогнута