Відповідь:

Для знаходження площі фігури, обмеженої параболою та прямою, спочатку необхідно знайти точки їх перетину.

Прирівнюємо рівняння параболи та прямої:

x^2 + 2x + 2 = 2x + 3

Переносимо всі члени на один бік рівності:

x^2 + 2x - 1 = 0

Застосовуємо квадратне рівняння:

x1,2 = (-2 ± √(2^2 - 4·1·(-1))) / (2·1) = (-2 ± √6) / 2

Отже, точки перетину цих фігур мають координати:

A = (-2 - √6)/2, yA = 2A + 3

B = (-2 + √6)/2, yB = 2B + 3

Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими кривими, потрібно знайти площу фігури, обмеженої параболою та вертикальною прямою, що проходить через точки перетину (A, yA) та (B, yB), і віссю абсцис.

Для цього обчислюємо інтеграл від різниці функцій обох кривих між точками перетину:

∫[A,B] (2x + 3 - (x^2 + 2x + 2)) dx = ∫[A,B] (-x^2 + x + 1) dx

Обчислюємо цей інтеграл:

∫[A,B] (-x^2 + x + 1) dx = [-x^3/3 + x^2/2 + x]_A^B = ((-B^3 + B^2 + B) - (-A^3 + A^2 + A)) / 3

Підставляємо значення точок A та B:

((-B^3 + B^2 + B) - (-A^3 + A^2 + A)) / 3 = ((-(−2 + √6)^3 + (−2 + √6)^2 − (−2 + √6)) − (−(−2 − √6)^3 + (−2 − √6)^2 − (−2 − √6))) / 3 ≈ 5.04

Отже, площа фігури, обмеженої параболою y=x^2+2x+2 та прямою y=2x+3, приблизно дорівнює 5.04 одиниць квадратних.