Ответ:

Пошаговое объяснение:

Раз есть модуль в системе, от него нужно избавляться. Раскроем его, но при этом будем иметь в виду ограничения, которые могут вноситься квадратным корнем в правой части.

Как и всегда, рассмотрим 2 случая: [tex]y > 0[/tex] и [tex]y\leq 0[/tex]. Здесь мы объединили случаи [tex]y=0[/tex] и [tex]y < 0[/tex], поскольку, как будет видно ниже, система будет иметь один и тот же вид. Начнём со второго случая, так как он проще.

1) [tex]y\leq 0[/tex]. Тогда [tex]|y|=-y[/tex]. Первое уравнение имеет вид [tex]8\sqrt{x-1} =0[/tex], откуда [tex]x=1[/tex]. Теперь из второго уравнения найдём y:

[tex]a(y-12)=1-9=-8\\ y-12=-\frac{8}{a} \\ y=12-\frac{8}{a} =\frac{12a-8}{a}[/tex]

Здесь есть подвох - при нахождении этого решения мы делили на параметр a. А если он нулевой? Рассмотрим этот случай отдельно.

[tex]a=0[/tex]. Тогда из второго уравнения получаем [tex]x=9[/tex]. Но первое уравнение принимает вид при подстановке [tex]8\sqrt{9-1} =0[/tex], что не может разумеется выполняться. Таким образом, система не имеет решения при [tex]a=0[/tex] в случае [tex]y\leq 0[/tex].

Кроме того, раз [tex]y\leq 0[/tex], то и [tex]\frac{12a-8}{a} \leq 0[/tex]. Решая неравенство методом интервалов, получаем, что [tex]0 < a\leq \frac{2}{3}[/tex]

Что мы имеем? При [tex]0 < a\leq \frac{2}{3}[/tex]  мы нашли ровно одно решение вида [tex](1;\frac{12a-8}{a} )[/tex]. А вот случай a=0 у нас в дальнейшем на особом контроле.

2)Теперь пусть [tex]y > 0[/tex], тогда [tex]|y|=y[/tex], и первое уравнение имеет вид [tex]2y=8\sqrt{x-1}[/tex]. Сокращая, [tex]y=4\sqrt{x-1}[/tex].

Рассмотрим все возможные возникающие здесь ситуации.

 а) [tex]a=0[/tex]. Здесь мы не нашли ни одного нормального решения, поэтому уместно сразу учесть либо отбросить это значение параметра. Подставляем его во второе уравнение системы: [tex]0=x-9,x=9[/tex], из первого уравнения можно найти единственный y. Но это означает лишь единственное решение системы, а по условию требуется 2 решения. Поэтому [tex]a=0[/tex] в конечный ответ задачи не войдёт.

б) Хотелось бы понять, что за решения будут при [tex]0 < a\leq \frac{2}{3}[/tex]. И сколько их. Для этого первое уравнение [tex]y=4\sqrt{x-1}[/tex] возводим в квадрат и выражаем x, подставляя его во второе уравнение

[tex]y^{2} =16(x-1)\\ x-1=\frac{y^{2} }{16}\\ x=\frac{y^{2} +16}{16}[/tex]      

[tex]a(y-12)=\frac{y^{2} +16}{16} -9=\frac{y^{2} +16-144}{16}=\frac{y^{2} -2^{7} }{2^{4} }\\ 2^{4} a(y-12)=y^{2} -2^{7}\\ y^{2} -2^{4} ay+2^{4}* 12a-2^{7} =0\\ y^{2} -2^{4} ay+2^{4}(3*2^{2}a- 2^{7})=0\\ y^{2} -2^{4} ay+2^{6}(3a- 2^{5})=0[/tex]