Полный дифференциал функции:

[tex]dz=\dfrac{\partial z}{\partial x} dx+\dfrac{\partial z}{\partial y} dy[/tex]

Рассмотрим функцию:

[tex]z=\ln (x^2+xy+y^2)[/tex]

Находим частные производные:

[tex]\dfrac{\partial z}{\partial x} =\left(\ln (x^2+xy+y^2)\right)'_x=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(x^2+xy+y^2)'_x=[/tex]

[tex]=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(2x+y+0)=\dfrac{2x+y}{x^2+xy+y^2}[/tex]

[tex]\dfrac{\partial z}{\partial y} =\left(\ln (x^2+xy+y^2)\right)'_y=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(x^2+xy+y^2)'_y=[/tex]

[tex]=\dfrac{1}{x^2+xy+y^2} \cdot(0+x+2y)=\dfrac{x+2y}{x^2+xy+y^2}[/tex]

Записываем полный дифференциал функции:

[tex]dz=\dfrac{2x+y}{x^2+xy+y^2}dx+\dfrac{x+2y}{x^2+xy+y^2}dy[/tex]