Ответ:

В 4-е раза.

Пошаговое объяснение:

Условие с обозначениями на риунке, и IAO₂I=3r

Итак, запишем вопрос задачи формально:

2πR/(2πr)=R/r;

задача заключаетс в нахождении онтошения радиусов окружностей.

Приступим.

Рассмотрим Δ О₁АО₂. Его угол ∠О₁АО₂=90° (по определению касательной и угла в точке касания).

По теореме Пифагора для этого треугольника запишем:

IO₁O₂I=√(IO₁AI²+IO₂AI²);   (1)

Но с другой стороны IO₁O₂I=R+r (по свойству точки касания окружностей; точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры этих окружностей).

IO₁AI²=R; IO₂AI²=3r (по условию)

Перепишем первое равенство:

R+r=√(R²+(3r)²);      (2)

Решаем уравнение (2):

(R+r)²=√(R²+(3r)²)²;

R²+2Rr+r²=R²+9r²;

R²+2Rr+r²-R²-9r²=0;

Приводим подобные, выносим общие множители:

2Rr-8r²=0;

2r(R-4r)=0;

2r=0 - не подходит!

R-4r=0;

R=4r;

R/r=4.