Пусть l - скомая величина, тогда по т. Пифагора она равна:

Для начала найдем наименьшее расстояние, оно достигается тогда, когда - минимальное, в сою очередь данное выражение минимально тогда, когда минимально выражение , а это выражение минимально в вершине параболы. Координата вершины равна -b/2a=3.2/2=1,6, значит через 1,6 часа расстояние будет минимальным.

Чтобы найти его подставим вместо t 1.6 в выражение :

км

Ответ: 1,6 часа, 80 км

Пусть через t часов расстояние между поездами будет наименьшим.

Тогда первый проедет 60t км и окажется на расстоянии

|160–60t| км от перекрестка,

второй проедет 80t км и окажется на расстоянии |80–80t| км от перекрестка.

По теореме Пифагора

d(t)=√(160–60t)²+(80–80t)²

Исследуем функцию на экстремум.

Для этого достаточно исследовать подкоренное выражение

s(t)=(160–60t)²+(80–80t)²

s(t)=100•((16–6t)²+(8–8t)²)

s(t)=100•(256–192t+36t²+64–128t+64t²)

s(t)=100•(320–320t+100t²)

s(t)=100*20•(5t²–16t+16)

s(t)=2000•(5t²–16t+16)

Производная

s`(t) =2000•(10t–16)

10t-16=0 => t=1,6

s`(t)=0 при t = 1,6

t=1,6 – точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с – на +.

s`(1) = – 12000 < 0

s`(2) = 52000 > 0

За 1,6 часа первый поезд проедет 60•1,6=96 км

и окажется на расстоянии |160–96|=64 км от перекрестка

Второй поезд проедет 80•1,6=128 км

и окажется на расстоянии |80–128|=48 км от перекрестка

По теореме Пифагора

d=√(64²+48²) =√(4096+2304) =√6400=80 км

1,6 ч = 1ч 36 мин

О т в е т. через 1 час 36 минуты наименьшее расстояние между поездами 80 км