Дано:

m = 78 кг

P = 680 H

ρ = 1000 кг/м³

g = 10 Н/кг

ρ' - ?

Решение:

На любое тело, которое находится в жидкости или газе, действует сила Архимеда (выталкивающая сила), которая является равнодействующей сил, оказываемых на тело со стороны жидкости или газа. Но это только в том случае, если газ или жидкость окружают тело сверху и снизу (потому как если снизу на тело не будет действовать жидкость или газ, а сверху - да, то выталкивающей силы не будет).

Предположим, что кусок металла имеет простую форму - кубическую. На верхнюю грань куба молекулы воды оказывают одну силу, а на нижнюю - другую. Сила молекул, которые давят на куб снизу, больше, чем сила молекул, оказываемых воздействие сверху. На боковые грани куба силы оказываются одинаковые. Как известно, давление - это отношение силы, приложенной к поверхности, к единице площади этой поверхности:

p = F/S => F = p*S

Так как сила верхних молекул меньше, чем нижних:

F₁ < F₂, то

R = F₂ - F₁ = p₂*S - p₁*S

Вспомним, что давление жидкости, в данном случае - воды, не зависит от площади, на которую оно оказывается:

p = ρgh - оно зависит только от плотности самой жидкости и высоты столба

Тогда на верхнюю и нижнюю грани куба оказываются давления:

p₁ = ρgh₁

p₂ = ρgh₂

R = p₂*S - p₁*S = ρgh₂S - ρgh₁S = ρg*(h₂S - h₁S)

Произведение hS - это объём водного столба. Следовательно:

h₁S - это объём водного столба, давящего на верхнюю грань куба

h₂S - это объём водного столба высотой h₂. То есть, жидкость действует на нижнюю грань с такой силой, как если бы эта грань оказалась сверху и на неё давил водный столб высотой h₂.

Разница в объёмах водных столбов - это объём тела (куска металла):

h₂S - h₁S = Vт

Вот и получается, что равнодействующая R - это сила Архимеда:

R = Fa = ρgVт

На кусок металла действует не только жидкость, но и Земля силой притяжения (сила тяжести mg). И ещё действует подвес силой натяжения T - ведь кусок имеет вес P, а вес - это сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Подвес тянет кусок металла вверх, сила тяжести - вниз, сила Архимеда - толкает вверх. При этом кусок находится в состоянии покоя. Значит силы уравновешиваются. Те силы, что направлены вверх, возьмём со знаком "плюс", а вниз - со знаком "минус", тогда:

T + Fa + (-mg) = 0

T + Fa = mg

Выразим силу натяжения:

T = mg - Fa

По Третьему закону Ньютона сила натяжения равна по модулю весу:

T = P => P = mg - Fa - вес куска металла в воде меньше веса куска в воздухе на Архимедову силу (в воздухе вес тела в состоянии покоя или при равномерном движении равен силе тяжести: P = mg)

Выразим массу куска как произведение плотности и объёма:

m = ρ'*V =>

=> P = ρ'*V*g - ρgV = Vg*(ρ' - ρ)

Объём куска неизвестен, но мы знаем Архимедову силу (это разность силы тяжести и веса), а из неё можно выразить объём:

Fa = mg - P => ρgV = mg - P => V = (mg - P)/(ρg) =>

=> P = g*(ρ' - ρ)*(mg - P)/(ρg) = (ρ' - ρ)*(mg - P)/ρ =>

=> (ρ' - ρ) = P / ((mg - P)/ρ) = P*ρ/(mg - P)

Плотность металла равна:

ρ' = P*ρ/(mg - P) + ρ = 680*1000/(78*10 - 680) + 1000 = 680*1000/100 + 1000 = 6800 + 1000 = 7800 кг/м³

Ответ: 7800 кг/м³.