Verified answer

Решение к этой задаче дается разное, и часто копируется друг у друга как верное, так и ошибочное. 

У этой задачи два варианта: найти отношение треугольников и отношение треугольника и четырехугольника. 

Эта задача требует найти отношение  S ᐃ ВКР и S ᐃАМК. 

S ᐃ ВКР=S ᐃ ВАР - S ᐃ ВАК

S ᐃ ВАК=S ᐃ ВАМ:2
S ᐃ ВАМ=S ᐃ АВС:2

Площадь треугольника АВМ равна половине площади ᐃ АВС, так как основания их относятся как 1:2 , а высоты равны - (ВМ-медиана и делит АС на две равные части).
Площадь ᐃ АВК равна половине площади ᐃ АВМ по тому же основанию: ВК=КМ, а высота из А к ВМ одна и та же для обоих треугольников.
Следовательно,

S ᐃ АВК=S ᐃ АКМ=1/2 S ᐃ АВМ=1/4 ᐃ SАВС

Проведем из вершины В прямую ВЕ, параллельную АС.
Продолжим АР до пересечения с ВЕ
Рассмотрим треугольники ВКЕ и АКМ.
Они равны по стороне и двум углам, прилегающим к ней:

ВК=КМ по условию, вертикальные углы при К равны,

углы КВЕ и КМА равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и АМ и секущей ВМ .
Следовательно, ВЕ=АМ=АС:2 ( именно это отношение нам для решения важно)

Сравним треугольники ВРЕ и АРС. Они подобны по трем углам (ВЕ||АС и накрестележащие углы при них равны, вертикальные углы при Р также равны).
Так как мы нашли, что  ВЕ=АС:2, коэффициент подобия этих треугольников равен 1:2
Тогда ВР:РС=1:2
Отсюда сторона ВР:ВС=1:3

(ВС=ВР+РС=1 ВР+2 ВР=3 ВР)
Так как в треугольниках АВР и АВС высота из вершины А к стороне ВС одна и та же, отношение их площадей равно отношению их оснований.
Отношение оснований ВР:ВС=1/3
Площадь ᐃ АВР=1/3 площадиᐃ  АВС.
Тогда:
S ᐃ ВКР=S ᐃ АВР - S ᐃ АВК
S ᐃ АВК=1/4 S ᐃ АВС
S ᐃ АВР=1/3 S ᐃ АВС
S ᐃ ВКР=⅓  ᐃ SАВС - ¼  S ᐃ АВС=  ¹/₁₂  S  ᐃ АВС
S ᐃ ВКР:S ᐃАМК=  ¹/₁₂   S ᐃ АВС:1/4  S ᐃ АВС=1/3