Задача средней сложности на нахождение площади треугольника. Эта задачка была сегодня на вступительных экзаменах МГТУ им. Баумана (так, чтоб вы знали чем имеете дело) и классифицировалась как легкая. Я ее решить не смог, прошу помощи у вас. . Created by LastUser. geometriya-ru

Задача средней сложности на нахождение площади треугольника. Эта задачка была се...

Verified answer

Буду считать, что длины адекватные и треугольник из условия существует (определять "в общем случае" ограничения на CN и CM я не хочу).

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине последней (для док-ва достаточно удвоить медиану и заметить, что получился прямоугольник), так что AB = 2CN = c

Проведем медиану BX, из подобия треугольников AKC и ABC следует, что CM : BX = AC : AB или AC * BX = CM * AB = 2CM * CN = x

Теперь имеем такую задачу: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой c, если произведение длин медианы и катета, к которому проведена медиана, равно x.

Её уже можно решать как угодно. Например, так:
Пусть катеты a и b, медиана ma = x/a. Теорема Пифагора для маленького и большого треугольников:
b^2 = ma^2 - (a/2)^2 = с^2 - a^2 - имеем уравнение на a^2.
4x^2 / a^2 - a^2 = 4c^2 - 4a^2
3a^4 - 4c^2 a^2 + 4x^2 = 0 - квадратное уравнение, пусть имеет 2 корня:
a^2 = (2c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 = c^2 / 3 + (c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3
Оба корня положительны, так что всё в порядке.
b^2 = c^2 - a^2 = (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 =
4S^2 = a^2 b^2 = c^2 (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 9 + (12x^2 - 3c^4) / 9
4S^2 = (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))/9
S^2 = 4/9 * (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
S = 2/3 * sqrt(12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))

Можно возвратиться и к исходным переменным, но намного красивей не станет.

2 решения возникают из-за того, что высота делит прямоугольник на 2 треугольника, и высота может быть проведена в каждом из них. Соответственно, возникают две конфигурации.
Вероятно, что одно решение будет в случае равнобедренного треугольника.

Матов

Verified answer

Обозначим катеты $a,b$ ,тогда гипотенуза $c=\sqrt{a^2+b^2}$
$CN=AN=NB = \frac{c}{2}\\\\
CN=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$
Высота $CK=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Положим что $S_{ABC}=\frac{ab}{2}=S\\
 ab=2S$
с выражения $CN=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\
 \sqrt{a^2+b^2}=2CN$
Из треугольников $AMK;MKC$ по теореме косинусов и теореме Пифагора соответственно получаем
$AM=MK\\
CM^2=AM^2+\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\\
CM^2=AM^2+b^2-2AM*b*\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\
\frac{S^2}{CN^2} = b^2-AM*\frac{b^2}{CN}\\\\
\frac{S^2}{CN^2} = b^2(1- \frac{AM}{CN}) \\\\
AM=MK=\sqrt{CM^2-\frac{S^2}{ CN^2 }}=AM\\\\
\frac{S^2}{CN^2} =b^2(1-\frac{ \sqrt{CM^2-\frac{S^2}{CN^2}}}{CN})\\\\
$
$AN=NC\\
 b^2=2CN^2-2CN^2 * cosKNC\\
CN=\frac{\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{sinKNC}\\
 sinKNC = \frac{S}{CN^2}\\\\
 cosKNC=\sqrt{\frac{CN^4-S^2}{CN^4}}\\
b^2=2CN^2(1-\sqrt{\frac{CN^4-S^2}{CN^4}})\\\\
$

$\frac{S^2}{CN^2} =b^2(1-\frac{ \sqrt{CM^2-\frac{S^2}{CN^2}}}{CN})\\
 \frac{S^2}{CN^2}=(2CN^2(1-\sqrt{\frac{CN^4-S^2}{CN^4}}))*(1-\frac{ \sqrt{CM^2-\frac{S^2}{CN^2}}}{CN})$

Откуда
$S=\frac{2}{3}\sqrt{-2*CN^2+3*CN^2*CM^2-\sqrt{CN^6(4*CN^2-3CM^2)}$

Answers & Comments

Verified answer

Verified answer

davlenie v zhidkosti zavisit ot vysoty rrgh odno ne ponimayu davlenie na nulev

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social