Задача средней сложности на нахождение площади треугольника. Эта задачка была сегодня на вступительных экзаменах МГТУ им. Баумана (так, чтоб вы знали чем имеете дело) и классифицировалась как легкая. Я ее решить не смог, прошу помощи у вас.
Буду считать, что длины адекватные и треугольник из условия существует (определять "в общем случае" ограничения на CN и CM я не хочу).
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине последней (для док-ва достаточно удвоить медиану и заметить, что получился прямоугольник), так что AB = 2CN = c
Проведем медиану BX, из подобия треугольников AKC и ABC следует, что CM : BX = AC : AB или AC * BX = CM * AB = 2CM * CN = x
Теперь имеем такую задачу: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой c, если произведение длин медианы и катета, к которому проведена медиана, равно x.
Её уже можно решать как угодно. Например, так: Пусть катеты a и b, медиана ma = x/a. Теорема Пифагора для маленького и большого треугольников: b^2 = ma^2 - (a/2)^2 = с^2 - a^2 - имеем уравнение на a^2. 4x^2 / a^2 - a^2 = 4c^2 - 4a^2 3a^4 - 4c^2 a^2 + 4x^2 = 0 - квадратное уравнение, пусть имеет 2 корня: a^2 = (2c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 = c^2 / 3 + (c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 Оба корня положительны, так что всё в порядке. b^2 = c^2 - a^2 = (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 = 4S^2 = a^2 b^2 = c^2 (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 9 + (12x^2 - 3c^4) / 9 4S^2 = (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))/9 S^2 = 4/9 * (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) S = 2/3 * sqrt(12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
Можно возвратиться и к исходным переменным, но намного красивей не станет.
2 решения возникают из-за того, что высота делит прямоугольник на 2 треугольника, и высота может быть проведена в каждом из них. Соответственно, возникают две конфигурации. Вероятно, что одно решение будет в случае равнобедренного треугольника.
Answers & Comments
Verified answer
Буду считать, что длины адекватные и треугольник из условия существует (определять "в общем случае" ограничения на CN и CM я не хочу).Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине последней (для док-ва достаточно удвоить медиану и заметить, что получился прямоугольник), так что AB = 2CN = c
Проведем медиану BX, из подобия треугольников AKC и ABC следует, что CM : BX = AC : AB или AC * BX = CM * AB = 2CM * CN = x
Теперь имеем такую задачу: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой c, если произведение длин медианы и катета, к которому проведена медиана, равно x.
Её уже можно решать как угодно. Например, так:
Пусть катеты a и b, медиана ma = x/a. Теорема Пифагора для маленького и большого треугольников:
b^2 = ma^2 - (a/2)^2 = с^2 - a^2 - имеем уравнение на a^2.
4x^2 / a^2 - a^2 = 4c^2 - 4a^2
3a^4 - 4c^2 a^2 + 4x^2 = 0 - квадратное уравнение, пусть имеет 2 корня:
a^2 = (2c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 = c^2 / 3 + (c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3
Оба корня положительны, так что всё в порядке.
b^2 = c^2 - a^2 = (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 =
4S^2 = a^2 b^2 = c^2 (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 9 + (12x^2 - 3c^4) / 9
4S^2 = (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))/9
S^2 = 4/9 * (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
S = 2/3 * sqrt(12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
Можно возвратиться и к исходным переменным, но намного красивей не станет.
2 решения возникают из-за того, что высота делит прямоугольник на 2 треугольника, и высота может быть проведена в каждом из них. Соответственно, возникают две конфигурации.
Вероятно, что одно решение будет в случае равнобедренного треугольника.
Verified answer
Обозначим катеты ,тогда гипотенузаВысота
Положим что
с выражения
Из треугольников по теореме косинусов и теореме Пифагора соответственно получаем
Откуда