Verified answer

Задана пирамида ABCD A(1;1;1) B(4;1;-1) C(0;5;2) и D(-2;0;6).  

Найти:  

а)высоту AH.  

Определяем координаты векторов из вершины А.

→АД = (-2-1)=-3; 0-1=-1; 6-1=5) = (-3; -1; 5).

→АВ = (4-1=3; 1-1=0; -1-1=-2) = (3; 0; -2).

→АС = (0-1=-1; 5-1=4; 2-1=1) = (-1; 4; 1).

Произведение векторов  

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}  

(→ АВ)х(→АС) = (0 - (-8) = 8; 2 - 3 = -1; 12 - 0 = 12) = (8; -1; 12).

Объем пирамиды равен: V = (1/6)*((→ АВ)х(→АС))*(→ АД), →АД = (-3; -1; 5).

V = (1/6)*((8*(-3) + (-1)*(-1) + 12*5) = (1/6)*(-24 + 1 + 60) = 37/6.

Определяем векторы из вершины В.

→ВС = (-4; 4; 3), →ВД = (-6; -1) 7).

Их векторное произведение равно:

(→ВС)х(→ВД) = 28 + 3 = 31; -18 + 28 = 10; 4 + 24 = 28) = (31; 10; 28).

Площадь треугольника ВСД равна:

S(ВСД) = (1/2)*|(→ВС)х(→ВД)| = (1/2)√(31² + 10² + 28²) = (1/2)√1845 = = 3√205/2.

Отсюда находим длину высоты из вершины А на грань ВСД:

АН = 3V/S(ВСД) = (3*37/6)/(3√205/2) = 37√205/615 ≈ 21,47673.

б)Расстояние между прямыми, содержащими ребра AC и BD.  

Определяем векторы: →АС = (-1; 4; 1) и →ВД = (-6; -1; 7) (ранее найдены).

|АС|x|ВД|  =  

Расстояние между ними находим из выражения:

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2  

d = _______________________

|АС|x|ВД|

Подставим значения:

1 - точка А 2 - точка В Расстояние d между скрещивающ.прямыми    

x1 x2 y1 y2 z1 z2

1 4 1 1 1 -1

3  0  -2  

х2 - х1 3 0 -2 3 0 Опре-

Вектор АС -1 4 1 -1 4 дели-

Вектор ВД -6 -1 7 -6 -1 тель

Определитель      

82  Модуль AСхВD = 38,301436

-45 = 37   Расстояние d = 0,966021222  

Определитель равен: 82 – 45 = 37.

Модуль ACхВD = 38,30144 , d = 37/38,30144 = 0,966021.

Ответ: расстояние d = 0,966021.  

в)Угол α между прямой AH и плоскостью ABC.

Этот угол можно определить так: α = 90 – β, где угол β – угол между гранями АВС и ВСД.

Угол β равен углу между нормалями к плоскостям указанных граней.

Координаты нормали определяются векторным произведением.

Нормаль ABC 8 -1 12       модуль √(64+1+144) = √209 ≈ 14,45683.

Нормаль  BCD 31 10 28       модуль √(961+100+784) = √1845 = 3√205 ≈ 42,9535.

Косинус угла β равен:  

cos β = (8*31+(-1)*10+12*28)/( √209*3√205) = 574/(3√42875) ≈ 0,924359.

Угол  β равен 0,391445 радиан или 22,42814 градуса.

Отсюда ответ: угол между АН и плоскостью АВС равен 90 - 22,42814 = 67,57186 градуса.