Verified answer

Находим координаты точки М1 пересечения плоскостей, решив СЛАУ методом Крамера.

x1 x2 x3 B  

5 -3 -1 0 Определитель  -50

1 2 3 14  

4 3 2 16  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

0 -3 -1  

14 2 3  Определитель  -70

16 3 2  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

5 0 -1  

1 14 3  Определитель -60

4 16 2  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

5 -3 0  

1 2 14  Определитель -170

4 3 16  

x1= -70/ -50 = 1,4  

x2= -60/ -50 = 1,2  

x3= -170/ -50 = 3,4.

Далее определяем уравнение плоскости, проходящей через три точки: М1 (1,4; 1,2; 3,4),

          М2 (4; 8; -1),

         М3 (-2; 1; 3).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA    =    0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1.4 y - 1.2 z - 3.4

4 - 1.4 8 - 1.2 (-1) - 3.4

(-2) - 1.4 1 - 1.2 3 - 3.4      = 0

x - 1.4 y - 1.2 z - 3.4

2.6            6.8 -4.4

-3.4          -0.2 -0.4      = 0

(x - 1.4()  6.8·(-0.4)-(-4.4)·(-0.2))  -  (y - 1.2)( 2.6·(-0.4)-(-4.4)·(-3.4))  +  (z - 3.4)  (2.6·(-0.2)-6.8·(-3.4))  = 0

(-3.6) (x - 1.4)  + 16 (y - 1.2)  + 22.6 (z - 3.4)  = 0

 - 3.6 + 16y + 22.6z - 91 = 0   или приводим к целым коэффициентам

18x1 - 80x2 - 113x3 + 455 = 0.

Теперь находим координаты точек пересечения заданных прямых с полученной плоскостью.

Представим каждое из уравнений прямых в виде двух уравнений.

(x1 - 3)/1 = (x2 + 4)/2,    2x1 - 6 = x2 + 4,    2x1 - x2 = 10.

(x1 - 3)/1 = (x3 - 1)/3,    3x1- 9 = x3 - 1,     3x1 - x3 = 8.

Из этих двух уравнений и третьего плоскости составим систему.

x1 x2 x3 B  

2 -1 0 10 Определитель  96,2

3 0 -1 8  

-3,6 16 22,6 91  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

10 -1 0  

8 0 -1  Определитель  431,8

91 16 22,6  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

2 10 0  

3 8 -1  Определитель -98,4

-3,6 91 22,6  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

2 -1 10  

3 0 8  Определитель  525,8

-3,6 16 91  

x1= 431,8/ 96,2 = 4,488565489  

x2= -98,4/ 96,2 = -1,022869023  

x3= 525,8/ 96,2 = 5,465696466.

Аналогично определяем точку пересечения второй прямой с полученной плоскостью.

x1/3 = (x2 - 1)/6,      6x1 = 3x2 - 3,     6x1 - 3x2 = -3.

x1/3 = (x3 - 4)/9,      9x1 = 3x3 - 12,     9x1 - 3x3 = -12.

Решаем систему с третьим уравнение плоскости.

x1 x2 x3 B  

6 -3 0 -3 Определитель  865,8

9 0 -3 -12  

-3,6 16 22,6 91  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

-3 -3 0  

-12 0 -3  Определитель  -138,6

91 16 22,6  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

6 -3 0  

9 -12 -3  Определитель  588,6

-3,6 91 22,6  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

6 -3 -3  

9 0 -12  Определитель  3047,4

-3,6 16 91  

x1= -138,6/ 865,8 = -0,16008316  

x2= 588,6/ 865,8 = 0,67983368  

x3= 3047,4/ 865,8 = 3,51975052.

По полученным координатам точек находим расстояние между ними по формуле d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²).

Подставим данные:

        Δ(x,y,z)                 (Δ(x,y,z))²  

-4,648648649 21,60993426    

1,702702703         2,899196494  

-1,945945946 3,786705625    

Сумма квадратов равна 28,29583638, откуда ответ:

d = 5,319383.