Синтаксический разбор предложения⁴:

Пастушок мягко похлопывает телёнка по шелковой шерстке и гонит его к стаду коров.

Пастушок - сущ., подлежащее,

мягко - наречие, обстоятельство образа действия,

похлопывает (и) гонит - глаголы, однородные сказуемые (ПГС),

и - союз, не является членом предложения,

теленка - сущ., прямое дополнение,

по шерстке - сущ. с предлогом, косвенное дополнение,

шелковой  - прилаг, согласованное определение,

его - местоимение, прямое дополнение,

к стаду - сущ. с предлогом, косвенное дополнение,

коров - сущ., несогласованное определение.

Характеристика предложения: повествовательное, невосклицательное, распространенное, простое, двусоставное, полное,  осложнено однородными сказуемыми.

Схема: [ - = и = ].

Какие орфограммы в предложении требуют умения выделять корень и подбирать однокоренные слова?

• Пастуш`ок - пас (∩ пас) - проверяемая безударная гласная в корне.
• Ш`ёлковой - шелка (∩ шелк), ш`ёрстка - шерсть (∩ шерст(ь)) - правописание Ё/О после шипящих в корне слова.

Какое слово не имеет окончания? Почему?

Мягко☐ - наречие. Наречия не имеют окончаний (-о суффикс).