7^п+3п-1 кратно 9

Проверим справедливость утверждения при n=1:

7^1+3*1-1 =7+3-1=9  -кратно 9 ,верно.

Предположим что утверждение справедливо при n=k:

7^k+3k-1   -и исходя из этого докажем справедливость утверждения при n=k+1:

7^(k+1)+3(k+1)-1 -и это выразим через: "7^k+3k-1":

7^(k+1)+3(k+1)-1=

=7*7^k+3k-1+3=

=7*(7^k+3k-1)-18k-9=

=7*(7^k+3k-1)-9(2k+1)   -отсюда следует: (7^k+3k-1) кратно 9 по предположению,

а 9(2k+1) кратно 9 из первого множителя, значит 7^п+3п-1 кратно 9.