Verified answer

Задано координати вершин піраміди ABCD:

A (2;5;6), B (4;7;9), C(-3;8;1), D (0;6;4).

Знайдіть довжину висоти DK, проведеної з вершини D.

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

Находим координаты векторов.

АВ = (4-2; 7-5; 9-6) = (2; 2; 3),

АС = (-3-2; 8-5; 1-6) = (-5; 3; -5),

АД =(0-2; 6-5; 4-6) = (-2; 1; -2).

Находим векторное произведение векторов АВ и АС по схеме Саррюса.

i         j        k|        i         j

2        2       3|        2       2

-5       3      -5|       -5      3 = -10i - 15j + 6k +10j - 9i + 10k =

                                          = -19i - 5j + 16k.

Произведение (АВ х АС) равно  (-19; -5; 16).

Теперь находим произведение  (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) х АД =  (-19*(-2) + (-5)*1 + 16*(-2)) = (38 - 5 - 32) = 1.

Объём равен V = (1/6)*|1| = 1/6 ≈ 0,1667 куб.ед.

Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения АВ и АС:

S(ABC) = (1/2)√((-19)² + (-5)² + 16²) = (1/2)√(361+25+256) = (1/2)√642 ≈ 12,669 кв. ед.

Тогда высоту H из точки D на плоскость АВС найдём по формуле:

H = 3V/S(ABC) = 3*(1/6) / (√642/2) = 1/√642 ≈ 0,0395.

Ответ: DK = 1/√642.