Вышли братья на широкий отцовский двор, натянули свои тугие луки и выстрелили.

Подлежащее - братья. Сказуемые (однородные) - вышли, натянули, выстрелили.

Пустил стрелу старший брат, и подняла ее боярская дочь.

Это сложное предложение. Состоит из двух частей. Основа первой части - брат (подлежащее) пустил (сказуемое). Основа второй части - дочь (подлежащее), подняла (сказуемое).

Определить основу предложения просто. Нужно найти субъект действия и, непосредственно, его действие или характеристику, выраженную какой-либо частью речи.

Пунктограммы: 1) первая запятая в первом предложении после слова "двор" объясняется наличием однородных сказуемых "вышли" и "натянули", которые не соединены союзами. Поэтому между ними ставится запятая; 2) вторая запятая во втором предложении объясняется характеристикой самого преложения: оно сложное; две части сложного предложения разделены запятой перед сочинительным союзом "и".