Уравнение касательной: у(кас) = y'(xo)*(x - xo) + y(xo), где хо - абсцисса точки касания, y'(xo) - производная функции в точке касания. Производная функции равна: y' = 4/√x, а точке касания y'(xo) = 4/√хо. Вместо переменных х и у подставляем координаты точки (1; 3). (4/√xo)*(1 - xo) + 8√xo - 7 = 3. Приводим к общему знаменателю: 4 - 4xo + 8хо - 7√xo = 3√xo. 4 + 4xo = 10√xo или, сократив на 2: 2 + 2хо = 5√xo. Возведём в квадрат обе части уравнения: 4 + 8хо + 4хо² = 25хо. Получили квадратное уравнение: 4хо² - 17хо + 4 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно xо: Ищем дискриминант: D=(-17)^2-4*4*4=289-4*4*4=289-16*4=289-64=225;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: xо_1=(√225-(-17))/(2*4)=(15-(-17))/(2*4)=(15+17)/(2*4)=32/(2*4)=32/8=4;xо_2=(-√225-(-17))/(2*4)=(-15-(-17))/(2*4)=(-15+17)/(2*4)=2/(2*4)=2/8=1/4. То есть имеем 2 точки касания х = 4 и х = 1/4. Отсюда получаем 2 касательные: у(кас) = 2х + 1 и у = 8х - 5. Но вторая прямая не пересекает заданную по условию параболу, а только касается её, поэтому ответ: у(кас) = 2х + 1.
Answers & Comments
Verified answer
Уравнение касательной: у(кас) = y'(xo)*(x - xo) + y(xo), где хо - абсцисса точки касания, y'(xo) - производная функции в точке касания.Производная функции равна: y' = 4/√x, а точке касания y'(xo) = 4/√хо.
Вместо переменных х и у подставляем координаты точки (1; 3).
(4/√xo)*(1 - xo) + 8√xo - 7 = 3.
Приводим к общему знаменателю:
4 - 4xo + 8хо - 7√xo = 3√xo.
4 + 4xo = 10√xo или, сократив на 2:
2 + 2хо = 5√xo. Возведём в квадрат обе части уравнения:
4 + 8хо + 4хо² = 25хо.
Получили квадратное уравнение:
4хо² - 17хо + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно xо: Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*4*4=289-4*4*4=289-16*4=289-64=225;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
xо_1=(√225-(-17))/(2*4)=(15-(-17))/(2*4)=(15+17)/(2*4)=32/(2*4)=32/8=4;xо_2=(-√225-(-17))/(2*4)=(-15-(-17))/(2*4)=(-15+17)/(2*4)=2/(2*4)=2/8=1/4.
То есть имеем 2 точки касания х = 4 и х = 1/4.
Отсюда получаем 2 касательные:
у(кас) = 2х + 1 и у = 8х - 5.
Но вторая прямая не пересекает заданную по условию параболу, а только касается её, поэтому ответ: у(кас) = 2х + 1.