Ребёнок, проснувшись, заплакал, и мне пришлось достать погремушку, купленную на прошлой неделе.

Здесь ДВЕ основы:

1) ребенок заплакал (ребенок - подлежащее, заплакал - сказуемое)

2) пришлось достать - это сказуемое, подлежащего нет

Деепричастного оборота здесь НЕТ, есть одиночное деепричастие - проснувшись.

Причастный оборот - купленную на прошлой неделе