Здравствуйте помогите с решением задачи, подробнее пожалуйста . Created by dfgddffxx. algebra-ru

В числителе и знаменателе дроби аналитические функции. Значит, конечные особые точки - это нули знаменателя. Это, соответственно, .1) , при этом и в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, - полюс порядка 3. Значит, вычет в этой точке 2) , при этом и в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, - полюс порядка 1. Значит, вычет в этой точке 3) , при этом и в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, - полюс порядка 1. Значит, вычет в этой точке 4) Так как сумма вычетов во всех особых точках равна 0, вычет в бесконечно удаленной точке равен

Здравствуйте помогите с решением задачи, подробнее пожалуйста ...

dfgddffxx @dfgddffxx

August 2022 1 38 Report

Здравствуйте помогите с решением задачи, подробнее пожалуйста

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

В числителе и знаменателе дроби аналитические функции. Значит, конечные особые точки - это нули знаменателя. Это, соответственно, $z_1=0;z_2=1;z_3=-1$ .

1) $f(z)=\dfrac{\frac{1}{1-z^2}}{z^3}=\dfrac{\varphi_1(z)}{z^3}$ , при этом $\varphi_1(z_1)\neq 0$ и $\varphi_1(z)$ в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, $z_1=0$ - полюс порядка 3. Значит, вычет в этой точке $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{z_1}f(z)=\dfrac{1}{2!}\lim\limits_{z\to z_1}\left(\varphi_1(z)\right)''=(*)$

$\varphi_1''(z)=\left(\dfrac{2z}{(1-z^2)^2}\right)'=\dfrac{2(1-z^2)^2-2z\cdot 2(1-z^2)\cdot (-2z)}{(1-z^2)^4}=\\ =\dfrac{2+6z^2}{(1-z^2)^3}$

$(*)=\dfrac{1}{2!}\cdot \dfrac{2}{1^4}=1$

2) $f(z)=\dfrac{-\frac{1}{z^3(1+z)}}{z-1}=\dfrac{\varphi_2(z)}{z-1}$ , при этом $\varphi_2(z_2)\neq 0$ и $\varphi_2(z)$ в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, $z_2=1$ - полюс порядка 1. Значит, вычет в этой точке $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{z_2}f(z)=\varphi_2(z_2)=-\frac{1}{1^3(1+1)}=-\dfrac{1}{2}$

3) $f(z)=\dfrac{\frac{1}{z^3(1-z)}}{z+1}=\dfrac{\varphi_3(z)}{z+1}$ , при этом $\varphi_3(z_3)\neq 0$ и $\varphi_3(z)$ в этой точке, очевидно, аналитическая. Значит, $z_3=-1$ - полюс порядка 1. Значит, вычет в этой точке $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{z_3}f(z)=\varphi_3(z_3)=\frac{1}{(-1)^3(1-(-1))}=-\dfrac{1}{2}$

4) Так как сумма вычетов во всех особых точках равна 0, вычет в бесконечно удаленной точке равен $\displaystyle \mathop{\mathrm{res}}_{\infty}f(z)=-\left(1+\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)=0$

1 votes Thanks 1

igorShap Пару минут, пункт 1) надо посмотреть

dfgddffxx хорошо

igorShap Поправил, теперь готово

dfgddffxx спасибо большое

Answers & Comments

Verified answer

d8971621164715a5791a521712e7bb70

pomogite pozhalujsta reshit zadachu28181d78c7d21825d6d1b66ffef2cd27 24848

pomogite pozhalujsta reshit zadachusrochnob748a969a59cc6a79c6fc14eb183fd9f 66178

pomogite pozhalujsta reshit zadachu proizvodnuyu

pomogite pozhalujsta reshit zadachusrochno1906135abd1abf7b36f7cb3143431e6b 74001

pomogite pozhalujsta reshit zadachu po t veroyatnosti0f21543258f5a739cbce7e05312bef45 35941

pomogite pozhalujsta reshit zadachu po t veroyatnosti

zdravstvujte pomogite s resheniem zadachi podrobnee pozhalujsta 312

pomogite pozhalujsta reshit zadachua2304e3f4dd1c3963f541622b3bcf06a 6656

zdravstvujte pomogite s resheniem zadachi podrobnee pozhalujsta1d8852f139fb10e3a5a04e39db17ac3a 59661

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social