Ответ:

[tex]f(\frac{1}{3} ;\frac{8}{3})=\frac{17}{3} .[/tex]

Пошаговое объяснение:

если дана функция f(x;y)=x²-xy+y²+2x-5y+12, тогда

1) частные производные первого порядка:

[tex]f'_x(x;y)=2x-y+2;[/tex]

[tex]f'_y(x;y)=-x+2y-5;[/tex]

2) составить и решить систему:

[tex]\left \{ {{2x-y=-2} \atop {-x+2y=5}} \right. \ = > \ \left \{ {{x=\frac{1}{3} } \atop {y=\frac{8}{3}}} \right.[/tex]

решение системы дало одну стационарную точку М(1/3;8/3), которую необходимо проверить на условие экстремума;

3) производные второго порядка:

[tex]f"_{xx}=2=A; \ f"_{xy}=-1=B; \ f"_{yy}=2=C;[/tex]

4) проверка на экстремум: АС-В²:

4-1=3>0, значит, функция в точке М имеет экстремум. Так как А=2>0, то этот экстремум есть минимум.

5) значение функции в точке минимума М:

[tex]f(\frac{1}{3} ;\frac{8}{3})=\frac{1}{9} -\frac{8}{9} +\frac{64}{9} +\frac{2}{3} -\frac{40}{3} +12=\frac{17}{3}.[/tex]

P.S. по возможности проверьте арифметику.