1) Обозначим числа в клетках таблицы через x₁, x₂, ... x₁₀₀. Рассмотрим сначала случай, когда их общая сумма не равна 0, т. е. x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀ ≠ 0. Обозначим суммы элементов строк и столбцов для каждого числа xij, не считая его самого через Si и Sj. По условию Kx₁ + x₁ = Si₁ + Sj₁ + x₁, Kx₂ + x₂ = Si₂ + Sj₂ + x₂ и т. д. Получаем, что Kx₁ + x₁ + Kx₂ + x₂ + ... + Kx₁₀₀ + x₁₀₀ = 19x₁ + 19x₂ + ... +19x₁₀₀ => (K + 1)x₁ + (K + 1)x₂ + ... +(K + 1)x100) = 19(x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀) => (K+1)(x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀) = 19(x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀) = K + 1 = 19 => K = 18. Действительно, если заполнить, к примеру, таблицу 10x10 одинаковыми целыми x, как изображено ниже,
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
....................................
x x x x x x x x x x
то для каждого x будет выполняться условие Kx = 9x + 9x = 18x => K = 18. Предположим теперь, что сумма x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀ = 0. В этом случае таблица заполнена знакопеременным рядом из x и -x, причем ряд может быть как строковым, так и столбцовым. Соответствующие примеры приведены ниже.
Строковый знакопеременный ряд
x -x x -x x -x x -x x -x
x -x x -x x -x x -x x -x
..........................................
x -x x -x x -x x -x x -x
В этом случае для элементов x имеем Kx = -10x + 9x + 9x = 8x и K = 8. Для элементов -x имеем -Kx = 10x -9x -9x = -8x => K = 8.
Столбцовый знакопеременный ряд
x -x x -x x -x x -x x -x
-x x -x x -x x -x x -x x
..........................................
-x x -x x -x x -x x -x x
Тогда для элементов x выполняется равенство Kx = -10x + 9x -10x + 9x = -2x => K = -2. Для элементов -x имеем -Kx = 10x - 9x + 10x - 9x = 2x => K = -2.
Таким образом получили три возможных различных значения K = 18, K = 8 и K = -2. Соответственно их сумма будет равна 18 + 8 -2 = 24.
Ответ: 24.
2) Гроссмейстеров всего 6, турнир играется в два круга, значит первый игрок сыграет в первом круге 5 партий, второй игрок еще четыре, поскольку одну партию против первого игрока мы уже учли, третий игрок еще 3 партии и т. д., т. е. всего в первом круге будет сыграно 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 партий. Столько же партий будет сыграно и во втором круге. Поскольку по условию в каждой партии разыгрывается по очку, то суммарное количество очков за время всего турнира будет равно 30. Максимальная разница в очках между соседними игроками будет достигаться в двух случаях. 1) Когда занявший первое место игрок набрал максимальное количество очков, а остальные пятеро поделили оставшиеся очки между собой. Тогда, т. к. занявший первое место игрок сыграл 10 партий (по 5 в каждом круге), то он мог набрать максимум 10 очков. Оставшиеся пятеро игроков поделили между собой 30 - 10 = 20 очков, т. е. каждый из них получил по 20/5 = 4 очка. Разница в очках между игроками, занявшими первое и второе места составит 10 - 4 = 6 очков. 2) Когда занявший последнее место игрок не набрал ни одного очка, а оставшиеся 5 игроков опять-таки поделили оставшиеся 30 очков между собой. Тогда первая пятерка ироков получила по 30/5 = 6 очков, а занявший последнее место 0 очков. Снова разница между предпоследним и последним местами в таблице составляет 6 очков. Это и есть максимальная разница в очках.
Answers & Comments
Verified answer
1) Обозначим числа в клетках таблицы через x₁, x₂, ... x₁₀₀. Рассмотрим сначала случай, когда их общая сумма не равна 0, т. е. x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀ ≠ 0. Обозначим суммы элементов строк и столбцов для каждого числа xij, не считая его самого через Si и Sj. По условию Kx₁ + x₁ = Si₁ + Sj₁ + x₁, Kx₂ + x₂ = Si₂ + Sj₂ + x₂ и т. д. Получаем, что Kx₁ + x₁ + Kx₂ + x₂ + ... + Kx₁₀₀ + x₁₀₀ = 19x₁ + 19x₂ + ... +19x₁₀₀ => (K + 1)x₁ + (K + 1)x₂ + ... +(K + 1)x100) = 19(x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀) => (K+1)(x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀) = 19(x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀) = K + 1 = 19 => K = 18. Действительно, если заполнить, к примеру, таблицу 10x10 одинаковыми целыми x, как изображено ниже,
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
....................................
x x x x x x x x x x
то для каждого x будет выполняться условие Kx = 9x + 9x = 18x => K = 18. Предположим теперь, что сумма x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀ = 0. В этом случае таблица заполнена знакопеременным рядом из x и -x, причем ряд может быть как строковым, так и столбцовым. Соответствующие примеры приведены ниже.
Строковый знакопеременный ряд
x -x x -x x -x x -x x -x
x -x x -x x -x x -x x -x
..........................................
x -x x -x x -x x -x x -x
В этом случае для элементов x имеем Kx = -10x + 9x + 9x = 8x и K = 8. Для элементов -x имеем -Kx = 10x -9x -9x = -8x => K = 8.
Столбцовый знакопеременный ряд
x -x x -x x -x x -x x -x
-x x -x x -x x -x x -x x
..........................................
-x x -x x -x x -x x -x x
Тогда для элементов x выполняется равенство Kx = -10x + 9x -10x + 9x = -2x => K = -2. Для элементов -x имеем -Kx = 10x - 9x + 10x - 9x = 2x => K = -2.
Таким образом получили три возможных различных значения K = 18, K = 8 и K = -2. Соответственно их сумма будет равна 18 + 8 -2 = 24.
Ответ: 24.
2) Гроссмейстеров всего 6, турнир играется в два круга, значит первый игрок сыграет в первом круге 5 партий, второй игрок еще четыре, поскольку одну партию против первого игрока мы уже учли, третий игрок еще 3 партии и т. д., т. е. всего в первом круге будет сыграно 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 партий. Столько же партий будет сыграно и во втором круге. Поскольку по условию в каждой партии разыгрывается по очку, то суммарное количество очков за время всего турнира будет равно 30. Максимальная разница в очках между соседними игроками будет достигаться в двух случаях. 1) Когда занявший первое место игрок набрал максимальное количество очков, а остальные пятеро поделили оставшиеся очки между собой. Тогда, т. к. занявший первое место игрок сыграл 10 партий (по 5 в каждом круге), то он мог набрать максимум 10 очков. Оставшиеся пятеро игроков поделили между собой 30 - 10 = 20 очков, т. е. каждый из них получил по 20/5 = 4 очка. Разница в очках между игроками, занявшими первое и второе места составит 10 - 4 = 6 очков. 2) Когда занявший последнее место игрок не набрал ни одного очка, а оставшиеся 5 игроков опять-таки поделили оставшиеся 30 очков между собой. Тогда первая пятерка ироков получила по 30/5 = 6 очков, а занявший последнее место 0 очков. Снова разница между предпоследним и последним местами в таблице составляет 6 очков. Это и есть максимальная разница в очках.
Ответ: 6.