Verified answer

7.5) 1) Производная дроби как функции определяется по формуле:

(fg) ′ = (f′⋅g - f⋅g′)g².

f' = (0 - 1*(-2x + 2))/((-x² + 2x - 3)²) = (2(x - 1))/((-x² + 2x - 3)²).

Приравняем производную нулю (достаточно числитель):

2(х - 1) = 0.

Получили критическую точку х = 1.

Находим знаки производной левее и правее этой точки:

х =          0               1                2

y' =  -0,2222       0     0,2222.

Как видим, в точке х = 1 производная меняет знак с - на +.

Это минимум функции у = 1/(-1² + 2*1 - 3) = -(1/2).

2) Если под корнем находится сложная функция , то производная от корня этой функции будет равна: единице, деленной на два таких же корня и умноженной на производную подкоренного выражения, то есть: y' = (1/(2√(2 - x))*(-1) + (1/(2√(x + 1))*1 =

            =  (1/2)*((1/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x)))) =

           = (1/2)*((1/(√(2 - x) - √(x + 1))/(2√(x + 1))) - (1/(2√(2 - x)).

Приравняем нулю (числитель): √(2 - x) - √(x + 1) = 0.

√(2 - x) = √(x + 1). Возведём в квадрат: 2 - x = x + 1.   2х =1.     х = 1/2.

Это критическая точка х = (1/2).

х =              0                 1/2                     1

y' =     0,14645          0            -0,14645.

В точке х = (1/2) максимум функции: у(1/2) = √6.