Ответ:

[tex]1)\ \ y''+y=0[/tex]   ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

Характеристическое уравнение:   [tex]\lambda ^2+1=0\ ,\ \ \lambda ^2=-1\ ,\ \ \lambda =\pm i[/tex]  .

Вид общего решения ЛОДУ 2 пор. при комплексных корнях характеристического уравнения :  

  [tex]y=C_1cosx+C_2sinx[/tex]    

[tex]2)\ \ y''-y=0[/tex]   ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

Характеристическое уравнение:   [tex]\lambda ^2-1=0\ ,\ \ \lambda ^2=1\ ,\ \ \lambda =\pm 1[/tex]  .

Вид общего решения ЛОДУ 2 пор. при действительных различных корнях  характ.  ур-я :  

  [tex]y=C_1\, e^{-x}+C_2\, e^{x}[/tex]    

[tex]3)\ \ y''-7y'+12y=0[/tex]   ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

В условии была допущена описка , не был написан  у .

Характеристическое уравнение:  

[tex]\lambda ^2-7\lambda +12=0\ ,\ \ \lambda _1=3\ ,\ \ \lambda _2=4\ \ (teorema\ Vieta)[/tex]  .

Вид общего решения ЛОДУ 2 пор. при действительных различных корнях характ. ур-я:    

  [tex]y=C_1\, e^{3x}+C_2\, e^{4x}[/tex]