Ответ:

1. Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його діагоналей, помноженому на півсинус кута між ними:

S = d1·d2·sin(α)/2,

де d1 і d2 - довжини діагоналей, α - кут між діагоналями.

У нашому випадку: d1 = 12√3 см, d2 = 10 см, α = 60⁰.

Отже, S = 12√3 см · 10 см · sin(60⁰) / 2 = 60√3 см².

Відповідь: 60√3 см².

2. Оскільки коло описане навколо трикутника АВС, то довжина сторони АВ дорівнює діаметру цього кола:

AB = 2·R,

де R - радіус описаного кола.

Для знаходження радіуса R спочатку знайдемо довжину сторони СВ:

У трикутнику АСВ ми знаємо сторону АС (рівна радіусу описаного кола) і кут між сторонами АС і АВ (рівний 30⁰), тому можемо знайти сторону СВ за теоремою косинусів:

AB² = AC² + BC² - 2·AC·BC·cos(∠ACB),

де AB = 2·R, AC = R (рівна радіусу описаного кола), BC - шукана сторона СВ.

Підставляємо відомі значення і отримуємо:

(2R)² = R² + BC² - 2·R·BC·cos(30⁰),

4R² = R² + BC² - 2·R·BC·√3/2,

3R² = BC² + 2·R·BC·√3/2,

BC = 2R·(√3 - 1).

Тепер можна знайти довжину сторони АВ:

AB = 2·R = 2·7 см = 14 см.

Відповідь: 14 см.